Kombinatorikaufgabe Gymi?
Hallo miteinander
Ich muss mich für eine Mathematikklausur in Kombinatorik vorbereiten und weiss nicht wie ich diese Aufgabe lösen kann. Könnt Ihr sie mir bitte erklären? Sie lautet folgendermassen:
Wie viele vierstellige Zahlen mit lauter verschiedenen Ziffern gibt es? Welcher prozentualer Anteil davon ist ungerade? (Beachte: Eine natürliche Zahl darf nicht mit einer 0 beginnen)
Die Lösung ist 49.4 Prozent.
Es ist wie angetönt keine Hausaufgabe, sondern eine Aufgabe, die ich für die Prüfungsvorbereitung löse.
Danke im Voraus
Liebe Grüsse
Antonym130
4 Antworten
Ich hab es folgendermaßen gelöst:
Es gibt (ohne führende Nullen) 9*9*8*7=4536 verschiedene Zahlen.
Lasse ich führende Nullen zu, gibt es 10*9*8*7=5040 verschiedene Zahlen.
Da dann gleich viele gerade wie ungerade Ziffern vorkommen, ist die Hälfte, also 2520, ungerade.
Davon ziehe ich jetzt die ungeraden Zahlen mit führenden Nullen ab, also 1*8*7*5= 280 (Erklärung: Die "1" steht für die 0 am Anfang, die "5" am Ende für eine ungerade Ziffer und die "8" und die "7" sind dann verbleibende Möglichkeiten).
Bleiben also 2520-280=2240.
Und das sind 2240/4536≈0,4938, also deine etwa 49,4%.
Das ist die elegante Methode. Eine Alternative wäre ein Baum mit den 16 Möglichkeiten, wie die Aufteilung der Ziffern (gerade/ungerade) auf die Verschiedenen stellen sein kann:
g... gerade, u ... ungerade:
gggg: 4*4*3*2
gggu: 4*4*3*5
ggug: 4*4*5*3
gguu: 4*4*5*4
gugg: 4*5*4*3
gugu: 4*5*4*4
guug: 4*5*4*4
guuu: 4*5*4*3
uggg: 5*5*4*3
uggu: 5*5*4*4
ugug: 5*5*4*4
uguu: 5*5*4*3
uugg: 5*4*5*4
uugu: 5*4*5*3
uuug: 5*4*3*5
uuuu: 5*4*3*2
Nun die Summe der ungeraden (hier fett) durch die Gesamtanzahl und man hat die Wahrscheinlichkeit.
Da Dir noch keiner geantwortet hat, möchte ich Dir ein paar Gedanken mitgeben, die Dir vielleicht helfen können:
Es sind vierstellige Zahlen, also alles Tausender. Ich benenne jetzt die Stellen mal immer von RECHTS - das ist zwar ungewöhnlich, aber letztendlich hier leichter.
Die erste Stelle von rechts ist somit die EINERstelle,
die zweite die Zehner, die dritte die Hunderter und die vierte die Tausender.
Für die erste Stelle gibt es 10 Möglichkeiten (0,1,2,3,...,9) sie zu besetzen. Für die zweite nur 9, da die bereits verwendete Ziffer nicht nochmal vorkommen darf.
Für die dritte dann 8 und für die vierte Stelle aber nur 6, da die 0 ja vorne verboten ist.
Somit gibt es 10*9*8*6 verschieden Zahlen.
Jetzt könnte man denken, dass genau die Hälfte ungerade ist, das ist aber falsch.
Bedenke, dass nur die erste Stelle (die EINER) eine Aussage liefert, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist.
Da die vierte Stelle (die Tausender) ohne 0 auskommen muß, können dort 5 ungerade aber nur 4 gerade Ziffern stehen. Somit gibt es ein paar mehr Zahlen, die hinten mit einer geraden Ziffer enden als mit einer ungeraden - wegen des Verbotes, dass zwei Ziffern nicht gleichzeit vorkommen dürfen.
Ausrechnen der ungeraden geht so wie oben:
An 1. Stelle dürfen nur 1, 3, 5, 7, 9 stehen das sind 5 .
An 2.Stelle dürfen aber alle 10, außer der eben gewählen der 1.Stelle stehen, also 9-
an Dritter dürfen dann 8 Ziffern stehen, an 4. Stelle )wegen der Null) nur 6.
Somit: 5*9*8*6
Ich habs jetzt nicht ausgerechnet, aber wenn das dividiert durch das obige Ergebnis jetzt 0,494 ist, dann liege ich richtig.
An alle die das hier kommentiert haben und an den Fargesteller:
ja, ihr habt vrecht. Mein Fehler war, es von rechts nach links aulösen zu wollen.
Da müßte ich noch eine Fallunterscheidung machen, ob ich die Null in den drei rechten Stellen verwendet habe oder nicht. --> Hinweis Jeanyfan.
Daher ist es sinnvoll es von leinks nach recht aufzudröseln.
Meiner Ansicht nach sind es (von links nach rechts gelesen)
9*9*8*7=4536 Möglichkeiten.
Das Problem bei deinen 10*9*8*6 ist ja, dass wenn innerhalb der letzten drei Ziffern die 0 vorkommt, es für die linke Stelle dann doch 7 und nicht nur 6 mögliche Ziffern gibt. Nur wenn die 0 nicht vorkam, sind es 6 Möglichkeiten.
Naja, überleg dir mal wie viele Zahlen es gibt:
erste ziffer darf nur 1-9 sein,
2. ziffer darf 0-9 abzüglich der ersten ziffer sien.
3. z. 0-9 abzüglich 1. und 2. ziffer
4. ziffer 0-9 abzüglich ziffer 1-3
also hast du für die 1. ziffer 9 möglichkeiten, für die 2. 10-1=9 möglichkieten.
für die 3. ziffer 10-2=8 möglichkeiten, für die 4. ziffer 10-3=7 möglichkeiten.
insgesamt gibt es also
9*9*8*7 vershciedene mögliche zahlen.
Wie viele davon gerade sind?
alle, bei denen die letzte ziffer gleich 0,2,4,6 oder 8 ist.
keinen plan, wie man das ausrechnet.
weißt du die anzahl an geraden zahlen, teilst du es durch die zahl oben
Der Binomialkoeffizient ist eine mathematische Funktion, mit der sich eine der Grundaufgaben der Kombinatorik lösen lässt. Er gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k bestimmte Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann (ohne Zurücklegen, ohne Beachtung der Reihenfolge).
Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n -elementigen Menge.
Ansatz:
Für alle 3-4 stelligen Zahlen (3-Stellig wenn die 1. Ziffer 0 ist) würde n über k gelten mit k=4 und n=10.
Für alle 1-2 Stelligen Zahlen k=2 und n=10
Das hilft mir nicht weiter, da alle Ziffern verschieden sein müssen und die 1. Ziffer nicht 0 sein darf.
Ich habe ohne zurücklegen geschrieben, das bedeutet das selbe wie ohne Wiederholung, also jede Ziffer einmal. Erste Ziffer nicht 0 bedeutet eine Stelle weniger. Ja, und die 0 und die geraden Zahlen habe ich noch nicht berücksichtigt. Ich behaupte auch nicht, dass ich eine Komplettlösung habe, aber einen Ansatz.
Das ist falsch. Wenn nämlich die 0 schon bei den "10*9*8" dabei war, gibt es für die "letzte" Stelle dennoch 7 Möglichkeiten!
Es ist doch sinnvoll, das von der "anderen" Seite zu betrachten:
Tausenderstelle: 9 Möglichkeiten (alle außer 0)
Hunderterstelle: 9 Möglichkeiten (alle außer Tausenderstelle)
Zehnerstelle: 8 Möglichkeiten
Einerstelle: 7 Möglichkeiten
Also: 9*9*8*7