Könnte mir jemand bitte helfen, wie man die Def der gleichmäßigen Stetigkeit auf die einzelnen Aufgaben anwendet?
2 Antworten
(a) r := |y|–|x|
|f(y)–f(x)|
= |y⁴/(1+|y|)–x⁴/(1+|x|)|
= |y⁴(1+|x|)–x⁴(1+|y|)|/((1+|x|)(1+|y|))
≤ |y⁴(1+|x|)–x⁴(1+|y|)|
= |y⁴(1+|x|)–x⁴(1+|x|+r)|
= (1+|x|)|y⁴–x⁴–rx⁴|
≤ (1+|x|)(|y⁴–x⁴|+|rx⁴|)
≤ (1+|x|)(|y⁴–x⁴|)
= (1+|x|)|(y³+y²x+yx²+x³)(y–x)|
= (1+|x|)|y³+y²x+yx²+x³||y–x|
≤ (1+|x|)|y³+y²x+yx²+x³|δ ≤ ε
Damit können wir δ = ε / ((1+|x|)|y³+y²x+yx²+x³|) setzen. Hier muss allerdings auf den Divisor geachtet werden, dass er ungleich null ist.
Der Rechenweg sollte die Erklärung sein.
Ich hab den Term umgeformt und abgeschätzt, sodass ich den Term |y–x| erhalte. Und hier weiß ich ja, dass hier nach der Definition der glm. Stetigkeit ein Delta>0 gesucht ist, sodass wenn der Term |y–x| kleiner gleich Delta den gesamten Ausdruck so stark verkleinert, dass er kleiner gleich ein Epsilon>0 ist. Dafür habe ich die Ungleichung oben nach Delta aufgelöst. Für dieses Delta ist |f(y)–f(x)| kleiner gleich Epsilon - die Defintion ist also erfüllt.
Natürlich! Die gleichmäßige Stetigkeit besagt, dass für jedes ε > 0 ein δ > 0 existiert, sodass für alle x, y innerhalb eines Intervalls der Abstand f(x) und f(y) kleiner als ε ist, wenn der Abstand zwischen x und y kleiner als δ ist. In der Anwendung musst du also zeigen, dass du dieses δ für ein gegebenes ε finden kannst.
Kannst du das auch erklären?