Könnt ihr mir bei Stochastik helfen?
Im Anhang ist das Bild einer Aufgabe, die ich nicht annähernd verstehe...
Bei a) Muss man 65432(1) rechnen? (Wegen des Feldes)
Bei b) Wahrscheinlich ist die Wahrscheinlichkeit für die Karotte größer... Immerhin gibt es mehr Wege dorthin...
Ich weiß aber nicht, wie ich das berechnen kann!
Bei c) Da wäre ein Ansatz eurerseits sehr nett!
Und bei Teil 2 weiß ich leider überhaupt nicht weiter. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte!
Lg Traumbewahrer
3 Antworten
Tipp zu Ia): In jeder Ebene entscheidet die Maus zwischen links und rechts und es gibt, wenn ich mich nicht verzählt habe, 7 Ebenen.
Indem du die Wege mit ihren Durchlaufwahrscheinlichkeiten gewichtest, wie du auch schon bisher die Wahrscheinlichkeiten irgendwo anzukommen berechnet hast.
Das wäre der Fall, wenn alle Wege gleichwahrscheinlich wären. Nachdem die Maus aber einen "Rechtsdrall" hat, musst du etwas aufpassen!
Ah, jetzt verstehe ich es. Danke für die Mühe! Jetzt haben wir ja insgesamt 64 Wege und 22 Wege, die zu Erdbeere, Walnuss und Karotte führen. Also beträgt bei c) die Wahrscheinlich, dass die Maus überhaupt Futter findet, 22/64=34,38%; oder?
Oh, tut mir leid. Ich bin nur etwas gestresst und mit meiner Konzentration am Ende; hoffentlich verstehst du das...
Klar, kein Problem!
Stelle dir verschiedenfarbige Kugeln vor, sechs Stück in sechs Farben. Zwei sind mit R gekennzeichnet, vier mit L. Es gibt nun 6! Möglichkeiten die Kugeln anzuordnen: 6 Möglichkeiten einen Platz für die erste zu finden, 5 für die zweite, usw.
Nun sind aber für uns die Farben völlig unerheblich, uns interessieren nur die Markierungen R und L. Wir können also die Kugeln beliebig umordnen, es dürfen dabei bloß keine Rs mit Ls getauscht werden. Solche Anordnungen betrachten wir als äquivalent. Zu jeder der 6! Anordnungen gibt es nun 2!*4! äquivalente Anordnungen, die durch vertauschen der beiden R-Kugeln miteinander (2! Umordnungen) und/oder vertauschen der vier L-Kugeln untereinander (4! Umordnungen) entstehen. Insgesamt gibt es also 6!/(4!*2!) nicht äquivalente Anordnungen.
Ja, diese Schreibweise kenne ich nur zu gut. :D ich habe gedacht, die 48 wären richtig, wir haben eine ähnliche Aufgabe im Unterricht auch so gelöst... Aber danke. Jetzt muss ich 15 mal die Wahrscheinlich (1/3)^4*(2/3)^2 rechnen, oder?
Genau! Wahrscheinlich ist dir aber noch nicht klar, warum hier (6 2) Möglichkeiten herauskommen, oder?
Naja für die Anordnung der l's gibt es 4! Möglichkeiten, für die der r's 2! Möglichkeiten... 4!*2!=48
Kennst du die Schreibweise (n k) (wird gelesen als "n über k")? (n k)=n!(k!(n-k)!). Mehr dazu: https://de.wikipedia.org/wiki/Kombination_(Kombinatorik)#Anzahl In unserem Fall: (6 2)=15.
Genau. Nun lass uns überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt zwei rechte und vier linke Abbiegungen anzuordnen, also: (rrllll),(rlrlll) usw.
Und wenn du ein bisschen genauer hinschaust? 2+3=5, wir sind aber immer noch bei 6 Abbiegungen.
Ok, da fehlen wohl ein paar. :) Lass uns vielleicht so denken: Wie oft muss die Maus links abbiegen und wie oft rechts, wenn sie zur Karotte kommen will?
Ich bin jetzt echt verunsichert... Und wenn ich die Wege versuche aufzumalen, wird es zu unübersichtlich...
Eine andere Antwort hier geht davon aus, dass es nur 5 Abzweigungen gibt. Sind es nun 5 oder 6?
So viele dürften es gar nicht werden, fange am besten zugleich von oben und von unten mit den möglichen Verzweigungen an.
Sie läuft ja die ganze Zeit gerade aus. Das heißt, sie läuft nicht nach links. Also (2/3)^6?
Genau! Dann lass uns die Karotte anschauen. Hier sehe ich keine bessere Möglichkeit als sich alle möglichen Wege aufzuzeichnen, mehr als 64 können es ja nicht werden. ;)
Ja, stimmt. Dann gäbe es ja auch eigentlich nur die eine Lösung oder? Sonst müsste die Maus ja nach oben laufen...
Genau. Weißt du nun, wie man die Wahrscheinlichkeit für das Erreichen der Walnuss berechnet?
Ich gibt scheinbar noch sehr viele andere Möglichkeiten. Sie könnte sich auch in Richtung Erdbeere bewegen und dann kurz vor Ankunft Richtung Walnuss bewegen. Bei der Karotte genauso.
Wirklich? Die Maus kann ja nicht nach oben laufen, nur nach links-unten und nach rechts-unten.
Naja die Maus könnte theoretisch in einer Geraden zu der Nuss gerade aus laufen, oder?
Das versuche ich seit gefühlt drei Stunden! Ich würde mich nur sehr freuen, wenn du mich auch bei den anderen Aufgaben ein wenig an die Lösung heranführen könntest!
Lass uns mit der Walnuss anfangen. Wie viele Pfade führen zu ihr?
Ja, dachte ich. Oder soll ich 2^6 (=64) rechnen? Das scheint immer noch zu wenig...
Da musst du dir bitte nochmal genauer anschauen, wie man mit mehrstufigen Zufallsexperimenten arbeitet. 2^6 ist aber die richtige Lösung!
Also nur 12? Das schien mir sehr unwahrscheinlich!
Wie kommst du denn auf 12? Zwei Möglichkeiten bei der ersten Ebene PLUS zwei bei der zweiten PLUS zwei bei der dritten ... oder wie?
Ich weiß es echt nicht. Kannst du mir nicht etwas konkreter helfen? Ich dachte 6! * 2!...
Wieviele Möglichkeiten hat die Maus bei der ersten Verzweigung abzubiegen? Zwei. Wieviele Möglichkeiten bei der zweiten? Auch zwei. Usw.
Ich zähle nur sechs Ebenen, wenn ich weiß was du meinst.
Tut mir Leid, du hast natürlich Recht! 6 Ebenen und eine Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten bei jeder von ihnen. Wie viele Möglichkeiten gibt es also?
Hallo,
Stichworte: pascalsches Dreieck, Binomialkoeffizienten, Galton-Brett, Normalverteilung.
All dies hängt mit der Aufgabe zusammen.
Das Labyrinth besitzt sechs Ebenen mit Hindernissen, in der siebten Ebene warten die Leckerchen. Sie wird aber als sechste gezählt, weil das eine Hindernis ganz oben die nullte Ebene ist.
Um zu verstehen, was da passiert, fang bei zwei Ebenen an, also mit einem Brett, in das drei Nägel in Form eines gleichseitigen Dreiecks eingeschlagen sind.
Läßt Du eine Kugel auf den obersten Nagel fallen, läuft sie entweder links oder rechts daran vorbei. Zu jedem der beiden Nägel darunter führt also genau je ein Weg.
Schlägst Du darunter drei Nägel ein, so daß diese sechs Nägel nun ein gleichseitiges Dreieck bilden, erreichst Du die beiden äußeren Nägel nur jeweils auf eine Art, den mittleren dagegen auf zwei Arten, denn schräg über ihm befinden sich zwei Nägel, von denen der Ball zum mittleren abtropfen kann. Die Möglichkeiten sind 1 2 1.
Eine Reihe darunter kann - von links nach rechts - auf 1 3 3 1 Art erreicht werden - probiere es aus.
So geht es gemäß dem Pascalschen Dreieck weiter.
1 4 6 4 1 ist die nächste Ebene usw.
Die Nägel eine Ebene tiefer werden immer auf Lücke gesetzt, die Wege, sie zu erreichen, ist die Summe der Wege, auf die die beiden Nägel schräg darüber erreicht werden können.
5. Ebene: 1 5 10 10 5 1
6. Ebene (Leckerchen): 1 6 15 20 15 6 1
Das sind die Binomialkoeffizienten (6 über 0), (6 über 1) usw. bis (6 über 6)
Die Walnuß ist also auf einem Weg zu erreichen, die Karotte auf 15, die Erdbeere auf 6, denn sie liegen an 0., 2. und 5. Position, also gibt es (6 über 0); (6 über 2) und (6 über 5) Wege.
Da es insgesamt 2^6=64 Wege gibt, wären die Wahrscheinlichkeiten normalerweise 1/64, 15/64 und 6/64
Nun hat die Maus aber diesen Rechtsdrall, was bedeutet, daß die Walnuß, die nur zu erreichen ist, wenn sich die Maus jedesmal für rechts entscheidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von (2/3)^6 zu erreichen ist, was 64/729 ergibt.
Bei der Karotte kann die Maus zwar 15 unterschiedliche Wege gehen, aber bei jedem muß sie sich viermal für rechts und zweimal für links entscheiden. Die Wahrscheinlichkeit ist also 15*(2/3)^4*(1/3)^2.
Um zur Erdbeere zu gelangen, kann sie 6 Wege gehen, wobei sie fünfmal nach links und einmal nach rechts abbiegen muß:
Wahrscheinlichkeit: 6*(2/3)*(1/3)^5
Herzliche Grüße,
Willy
Ich meine aber die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet die Maus überhaupt Futter... :)
Das ist natürlich die Summe der Wahrscheinlichkeiten für Walnuß, Karotte und Erdbeere:
Noch eine letzte Frage: bei Teil 1, c): die Wahrscheinlichkeit wäre, wenn alle Wege gleich wahrscheinlich wären, 34,38%. Nun gibt es aber diesen Rechtsdrall... Wie würdest du die Aufgabe lösen?
Lg
Ich hatte die Wahrscheinlichkeit so berechnet, als hätten alle Mäuse diesen Rechtsdrall. Ansonsten liegt die Wahrscheinlichkeit, die Erdbeere zu finden, für eine Maus bei
(1/2)^6=1/64, die Gegenwahrscheinlichkeit bei 63/64.
Diese Zahlen müßtest Du dann anstelle von 4/243 und 239/243 einsetzen.
Nee, falsch: Du hast ja sechs Möglichkeiten, die Erdbeere zu finden; das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von 6/64=3/32
Vielen Dank. Alles perfekt verständlich erklärt!
Ich hoffe, es stimmt auch; bin mir aber relativ sicher. Ansonsten mögen mich Berufenere korrigieren.
Willy
Ich bin dir unendlich dankbar! Kannst du mir noch einen Ansatz für den zweiten Teil geben?
Vereinfache das Problem: Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln, liegt bekanntlich bei 1/6. Wie wahrscheinlich ist es, bei dreimal Würfeln eine 6 zu würfeln? Die 6 kann beim ersten, zweiten oder dritten Wurf fallen, das sind drei Möglichkeiten, multipliziert mit (1/6)*(5/6)² (einmal 6, zweimal keine 6).
Allgemein: k Treffer bei n Würfen:
(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k), wobei p für Treffer, 1-p für 'kein Treffer' steht. Man nennt dies eine Bernoulli-Kette.
Nun zu den Mäusen:
Die Wahrscheinlichkeit, bei der Erdbeere zu landen, liegt bei
6*(2/3)*(1/3)^5=4/243
Das gilt für eine Maus.
Bei zwei Mäusen ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens eine von ihnen die Erdbeere findet, dieselbe, als würdest Du bei einem Spiel, bei dem ein Treffer eine Wahrscheinlichkeit von 4/243 hat, zwei Runden mitspielen und dabei einen oder zwei Treffer landen. Das ist die Summe von 2*4/243*239/243
und 1*(4/243)².
Zehn Mäuse sind dann wie zehn Runden. Mindestens 5 davon möchtest Du gewinnen. Das ist die Summe aus 5, 6, 7, 8, 9 und 10 Gewinnen.
5 Gewinne in 10 Runden: (10 über 5)*(4/243)^5*(239/243)^5
239/243 ist die Wahrscheinlichkeit für eine Niete: 1-4/243
Du kannst also die Summe für k=5 bis 10 bilden über
(10 über k)*(4/243)^k*(239/243)^(10-k)=0,00000028425
Die Wahrscheinlichkeit ist also nicht allzu hoch.
Die Wahrscheinlichkeit übrigens, daß keine der zehn Mäuse die Erdbeere findet, liegt bei (239/243)^10=0,8471 oder 84,71 %.
Willy
Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens eine Maus die Erdbeere erwischt, ist das Gegenereignis von 'keine Maus findet die Beere'.
Wenn dies mit 99 % Wahrscheinlichkeit erreicht werden soll, muß die Gleichung gelten:
1-(239/243)^n=0,99
(239/243)^n=0,01
Logarithmieren:
n*ln(239/243)=ln(0,01)
n=[ln(0,01)]/[ln(239/243)]=277,455
Du mußt also 278 Mäuse in das Labyrinth geben, damit die Erdbeere mit mindestens 99 % Wahrscheinlichkeit wenigstens von einer gefunden wird. (Haben die Viecher eigentlich keinen Geruchssinn?)
Willy
Es geht hier um einen "Mehrstufigen Zufallsversuch" mit n=5 ( 5 Stufen die Maus entscheidet 5 mal rechts oder links)
Diese Versuche kann man mit einen Baumdiagramm darstellen ,wobei sich je nach Aufgabe verschiedene Wege (Pfade) ergeben.Es können sich auch mehrere Pfade mit der selben "Pfadwahrscheinlichkeit" ergeben.
Die "Pfadwahrscheinlichkeit" ergibt sich aus den Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten,die auf diesen Pfad liegen.
a. Wahrscheinlichkeit für die Nuss. Die Maus passiert 5 Kreuzungen und die Wahrscheinlichkeit,dass die Maus rechts bleibt liegt bei P(r)=2/3
Der Pfad ist somit P(Nuss) = 2/3 *2/3*2/3 *2/3 *2/3*2/3=(2/3)^5=0,131=13,1 %
b. Pfadwahrscheinlichkeit für die Möhre (Pfad ist vorgegeben)
P(Möhre) = 1/3 *2/3 *1/3 *1/3 *2/3= (1/3)^3 * (2/3)^2=0,0164=1,16%
Bei mehreren Pfade mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gilt
P(gesamt)= Anzahl der Pfade * Pfadwahrscheinlichkeit
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Analytische Geometrie /Stochastik mit Lösungsbuch
Cornelsen Verlag Kosten 45 Euro
Da steht alles drin mit Erklärungen und bunten Bildern !
Ja, aber sind es nicht sechs Abzweigungen, die die Maus nehmen kann?
Also ,ich mach das hier nur als Hobby. Solch eine Aufgabe habe ich noch nie gerechnet.Mehr kann ich dir leider nicht helfen.
Ich werde mich,wenn ich Zeit und Lust habe,mit dieser Aufgabe mal näher beschäftigen.
Geld verdienen,kann ich dabei auf keinen Fall.
Vielen Dank für die Antwort! Also existieren nicht 2^6 mögliche Wege, sondern 2^5?
Ääähhh ,also wie viele Wege nun möglich sind ,kann ich nicht sagen.
Wenn die Maus nun Umwege macht,dann ergeben sich natürlich mehr als 5 Kreuzungen und die Pfadwahrscheinlichkeit ,dass die Maus diesen Umweg nimmt,wird nätürlich geringer.
Beipiel : Wenn nun die Maus den kürzesten Weg zur Möhre nimmt,dann ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Weg das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten an den n -Kreuzungen.
Gibt es nun mehrere Wege zu dieser Möhre ,mit der selben Pfadwahrscheinlichkeit.dann ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit = Anzahl der Pfade * Pfadwahrscheinlichkeit
Wie viele Wege vom Startpunkt zur Nuss es gibt, weiss ich nicht.
Inwiefern denn?