Kann mir wer bei der Aufgabe helfen?
Sei
𝑥 0 = 12
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 ⋅ (1 − 𝑥𝑛)
für 𝑛 > 0.
- Sei 𝑥 ein Grenzwert von (𝑥𝑛)𝑛∈N0. Zeigen Sie, dass 𝑥 = 𝑥 ⋅ (1 − 𝑥) ist.
- Zeigen Sie, dass (𝑥𝑛)𝑛∈N0 gegen 0 konvergiert.
Tipp: Zeigen Sie, dass (𝑥𝑛)𝑛∈N0 monoton fallend und beschränkt ist. Benutzen Sie dann Teil 1.
2 Antworten
Zum Hintergrund, es geht um die logistische Gleichung (https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung), hier mit r= 1 und K= 1.
Der Startwert muss im Intervall [0,1] liegen.
𝑥𝑛+1 - 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛 ⋅ (1 − 𝑥𝑛) - 𝑥𝑛 = -𝑥𝑛^2 < 0, daher die Monotonie.
Andererseits ist 𝑥𝑛 ⋅ (1 − 𝑥𝑛) >= 0, was man gleich sieht, wenn man diese Parabel skizziert.
Damit steht schon alles da.
Hallo,
bist Du sicher, daß Du die Aufgabe richtig wiedergegeben hast?
Das fällt doch ins Bodenlose.
Wenn x0=12, dann ist x1=12*(1-12)=-132.
x2=-132*(1-(-132))=-17556
x3=-17556*17557=-308.230.692 usw.
Wie soll das denn bitte konvergieren? Streng monoton fallend, ja. Konvergieren? Nein.
Herzliche Grüße,
Willy