Kann mir jemand für die folgende Aufgabe einen Lösungsansatz bieten?
3 Antworten
Mein Ansatz wäre, vom Punkt P jeweils eine Orthogonale zu den Seiten des Rechtecks, als Hilfslinien einzuzeichnen.
Hier mal eine Skizze
Du siehst, es lassen sich hier mit diesen Hilfslinien allerhand rechtwinklige Dreiecke bilden.
Zum Beispiel
|AP|² = |As1|²+|Ps1|² oder |AP|² = |As3|²+|Ps3|² für AP
|BP|² = |Bs1|²+|Ps1|² oder |BP|² = |Bs2|²+|Ps2|² für BP
usw.
Du siehst hier schon das in den Gleichungen jeweils eine Länge mehrfach vorkommt, dass heißt du kannst sie in einander einsetzen. (z.b. |Ps1|² kommt in AP und BP vor.)
Spiel das mal für alle durch. Irgendwann wirst du dann bei der Identität landen ;)
Ziehe eine Hilfslinie (waagerecht) durch P.
Neue Punkte: Links G und rechts H.
(1) Damit: AP²=AG²+GP² und BP²=HP²+BH² mit AG=BH
Deshalb: AP²=BP²-PH²+GP²
(2) Außerdem: CP²=HP²+HC² und DP²=GP²+DG² mit HC=DG
Deshalb: CP²=PH²+DP²-GP²
(3) Beide fetten Gleichungen addieren führt zum Ergebnis.
Die plumpe Anwendung des Pythagorassatzes in einem System, in dem der Punkt P mit den kartesischen Koordinaten p_x und p_y definiert ist lässt folgende Formulierung zu.
Die linke Seite entspricht dem roten Pfad, die rechte beschreibt den grünen Pfad.
Ja, genau. Das ist ja genau der Beweis. Grün gleich rot. Die Terme auf der linken und der rechten Seite stammen aber aus verschiedenen Pfaden.
Ganz einfach: Du konzentrierst Dich auf die Strecke |AP| und quadrierst die beiden Katheten, die zu der Hypotenuse |AP| gehören. Dann machst Du das gleich für die Hypotenuse |CP|. Die beiden roten Strecken sind durch vier quadratische Ausdrücke repräsentiert, die addiert werden. Das ist ingesamt die linke Gleichungsseite. Dann machst Du das gleiche für die beiden grünen Strecken, also für |BP| und |DP|, was wiederum vier quadratische Ausdrück entsprechend den vier Katheten ergibt. Das ist die rechte Gleichungssseite. Erst dann stellt man als Ergebnis die Gleichheit fest. Also: Die Gleichheit wurde nicht angestrebt. Sie wurde auch nicht erschaffen. Sie kommt als Befund heraus!
OK - schau Dir meine angegebene Lösung an....bin nicht sicher, ob der Fragesteller mit Deiner Gleichung weiter kommt....
Aber erst jetzt - nach Deiner Erläuterung - merke ich, dass Du auf zwei verschiedenen Wegen (rot und grün) das Ergebnis erzielt hast. Hab ich vielleicht zu oberflächlich gelesen (nur aufs Ergebnis geschaut).
Ist doch der gleiche Grundgedanke: Zerlegung der Hypotenusenquadrate in Kathetenquadrate. Nur dass wir sie unterschiedlich bezeichnet haben.
Links und rechts stehen aber doch exakt die gleichen Terme - also 1=1. Was hilfts?