Kann man sich Brüche als Umrechnen zwischen Zahlensystemen vorstellen?
Sowas wie 1/2 kann man sich ja gut veranschaulichen, ich nehme ein ganzes ein Mal und teile es in 2 gleichgroße Stücke, diese sind dann jeweils 0,5 groß.
Doch wie würde man sich 1/0,5 vorstellen? Ich nehme ein ganzes "und teile es durch 0,5", was soll das überhaupt bedeuten? Also habe ich mir vorgestellt das ich um ein ganzes vollständig in 0,5 aufzuteilen 2 dieser 0,5 Mengen brauche. Oder anders um es für unseren menschlichen Verstand der in Einheiten von ganzen klarkommt umzurechnen, ich rechne 0,5 auf 1 hoch, dafür muss ich ebenfalls 1 auf 2 hochrechnen und erhalte somit mein Ergebnis von "2", immerhin ist es ja komisch zu sagen man teilt einen Kuchen auf 0,5 Personen auf, wieviel bekommt jede "Person" (hier dann im Sinne von einer ganzen Einheit). Wenn man es nur bei der Frage belässt, wievielt bekommt jede halbe Person hätte man ja nicht wirklich was gerechnet, weil die Antwort dann einfach bloß "1" wäre. Leider fehlen mir glaube ich einige Fachbegriffe aber ich habe irgendwie das Gefühl das dass ganze mit Umwandlungen von "Referenzsystemen" zu tun hat?
Nochmal gestellt um noch mehr Meinungen zu lesen, schaut euch am besten noch die Kommentare unter den Antworten an :)
4 Antworten
Ich teile ein ganzes durch eine Hälfte, also habe ich zwei Hälften, passt doch.
Ein Kuchen soll auf die vorhandenen Personen verteilt werden, Du teilst einen Kuchen auf eine halbe Person auf und die Person hat dann plötzlich aus dem nichts einen zweiten Kuchen - Nein, so ergibt das keinen Sinn, denn aus der halben Person wurde eine Person, was dann auch das System und damit die Kuchen verdoppelt hat. Richtiger: Du hast einen Kuchen und willst ihn auf mehrere Personen verteilen. Man kann den Kuchen nicht auf eine halbe Person verteilen, weil es insoweit keine Zuordnung gibt, man geht einfach in der Logik rückwärts, wie vom schwarzen zum weißen Loch. Die Aussage, dass zwei Kuchen vorlägen, ist lediglich die, dass wenn nur eine halbe Person vorhanden wäre und man dieselbe antiproportionale Relation wahren will, dass dann die halbe Person zwei Kuchen bekommen müsste.
Es ist aber keine Aufteilung mehr, sondern eine relationenwahrende Multiplikation.
Woran liegt das? Du teilst den einen Kuchen auf eine halbe Person. Da je mehr Personen, desto weniger Kuchen, dann auch desto mehr Kuchen, je weniger Person. Wenn eine Person allein einen Kuchen bekommen würde, zwei sie sich teilen müssten, dann wäre die Relation nur gewahrt, wenn eine halbe Person zwei bekommen würde.
Ungefähr so: In einem Bus sind 5 Leute. Wenn an der nächsten Haltestelle 7 aussteigen, müssen an der übernächsten wieder zwei einsteigen, damit der Bus leer ist. Man kann in der Mathematik mitunter dort rückwärts gehen, wo es in der Realität nicht geht.
Deswegen gibt es vielleicht keine weißen Löcher, keine Tachyonen, oder es gibt sie. Nur weil sie mathematisch möglich sind, ist kein Existenzbeweis erbracht. Häufig verwendet man mathematische Systeme, die weiter sind als die zu analysierende Realwelt. Eine halbe Person gibt es nicht, dass sie einen Kuchen verdoppeln würde bei einer Aufteilung, ist daher ein theoretisches Denkkonstrukt, welches mangels halber Person nicht in die Realwelt überführt werden kann.
Diese Umrechnungslogik, wenn auch etwas anders, haben wir in der Relativitätstheorie, dort ist u.a. die Zeit und damit auch die Kausalität relativ.
Mal eine kleine Kostprobe
Diese Vorstellung würde auch abstrakt erklären weshalb man Zähler von Brüchen mit unterschiedlichen Nenner erst dann einfach addieren/ subtrahieren darf, wenn der Nenner beider brüche gleich gemacht wird, sozusagen die unterschiedlichen Sprachen angeglichen wurden. Oder: Apfel und Bananen kann man nicht addieren aber wenn man es angleicht zu "Apfanen" geht es.
Letzendlich weiss ich gar nicht wo mein Problem liegt, ich kann sogar mit Reihenentwicklung, kettenbrüche usw. umgehen aber sobald ich anfange über brüche an sich zu denken kommt mir irgendwo ein unwohles gefühl hoch was mich dazu bringt irgendeine "tiefe" finden zu wollen.
Ich denke mir dann nur, es kann doch nicht sein, dass ich bei einem so einfachen (so fühlt es sich auf jeden Fall an wenn man sich informiert) Thema irgendwelche konzeptuellen Probleme entwickel, oder steckt da vielleicht doch noch irgendwie mehr Komplexität hinter als man sonst oberflächlich vermittelt bekommt?
Mich beruhigt es aber schonmal das es (teilweise soweit ich verstehe) ein eigenes Feld gibt was sich nur damit beschäftigt, die Mereologie
Man sieht schon an der unmöglich - oder mathematisch genau: nicht definierten - Division durch 0, dass das mathematische System nicht unbedingt perfekt und vollkommen ist, man siehe auch den Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel.
Ein ähnliches Problem hatte man mit der Wurzel negativer Zahlen, was dann aber mit komplexen Zahle gut lösbar wurde - das war aber eine konstruktiv-theoretische Erweiterung, die sich dann jedoch in der Praxis als sehr nützlich erwies. Mit einer Division durch 0 gab es - eher außerhalb des akademischen Rahmens - ähnliche Versuche, die aber erstens gescheitert sind und zweites auch deswegen nicht auf fruchtbaren Boden vielen, weil sie in der Praxis keinen Bedarf vorfanden.
Mathematik ist daher viel Modell und Definition, nicht unbedingt eine perfekte Beschreibung der Wirklichkeit. Dennoch hat die Mathematik viel genützt, die moderne Philosophie scheint hingegen komplett zu hängen, kaum noch wirklich nützliche Ergebnisse zu liefern, wenn überhaupt, sie wirkt häufig wie wirre Geschwätz ohne Tiefgang. Aristoteles, Scholastik waren noch klasse, mit Kant hörte es aber auf, erstgenommen werden zu müssen. Philo macht keinen Sinn mehr. Die Physik ist hingegen klasse, sie bricht neue Dinge auf und fördert Erkenntnisse wie die Quantenmechanik zu Tage. Logik ist auch supi, ebenso Informatik.
Um im Bild des Kuchens zu bleiben:erlaubt Dir die Frage zu beantworten: Wieviele Personen bekommen etwas von einem ganzen Kuchen (Zähler "1") ab, wenn jeder einen halben Kuchen (Nenner "0,5") bekommt?
Aber insgesamt sollte man sich irgendwann von diesen "so praktiscchen" oder "intuitiven" Vorstellungen auch verabschieden. Das führt irgendwann zu nichts mehr (zumindest meine Meinung).
Das ist ja dann plötzlich umgekehrt, solange N > Z gilt: Wieviel Menge bekommen N Personen wenn die Menge Z gleichmäßig auf sie aufgeteilt werden. Sobald hier jetzt jedoch gilt N < Z gilt: Wie viele Personen bekommen die Menge Z wenn insgesamt N zur Verfügung steht, ich Versuche da irgendwie mehr Intuition in diese "Umkehrung" reinzubringen
Vielleicht hilft die Vorstellung eines Verhältnisses von Dingen mit numerischen Eigenschaften, das Gewicht wäre z.B eine numerische Eigenschaft, da es mit Zahlen darstellbar ist, also z.B
a =1kg
b = 0.5kg
Das quantitative Verhältnis von a zu b lautet:
a/b = 1/0.5 = 2/1
Also:
a=b*2 .........a ist doppelt so schwer wie b
Und
b=a/2........ b ist halt so schwer wie a
Den Ansatz hatte ich auch, doch ich dachte es müsste doch auch einfach mit der "Standart" Vorstellung des "Teilen" funktionieren. Zu deinen wäre der Beweis doch dann 1/(1/2) = ((2/1)*1)/((1/2)*(2/1)) = 2/1 = 2
Prinzipiell ist das ja bei dir auch die Mengenvorstellung von einem anderen Mengensystem. 1kg ist aus der Welt wo 0,5kg ein ganzes wären (und eben nicht 1kg) das doppelte von dieser Einheit.
Daher auch irgendwie meine Idee mit dem "umwandeln" zwischen Einheitssystemen, dass man die Perspektiven wechselt
Leider finde ich nirgends ein Buch was Brüche irgendwie nochmal aus einer abstrakten Ebene betrachtet. Alles was ich finde sind so kinderbücher über Brüche.
Mir scheint du möchtest die Angelegenheit philosophisch tiefer ergründen vielleicht findest du in der Mereologie für dich interessante Aspekte, siehe z.B hier:
Das klingt tatsächlich vielversprechend, danke :-)
Vielleicht wird mir das hier helfen: https://academic.oup.com/book/41455/chapter-abstract/352828130?redirectedFrom=fulltext
Oh, ja mir scheint das geht schon ziemlich in deine Richtung
Mathematisch gibt es 2 Wege
a) 1/0,5= (0,5+0,5)/0,5 und
b) 1/0,5 mit 0,5 = 1/2
1/(1/2) = 1* 2/1
Die Regel dazu: eine Zahl wird durch einen Bruch geteilt, indem man die Zahl mit dem Kehrwert malnimmt. qed
Und
3)
2*1/2*0,5 …
Ich will nicht behaupten das die Antwort nicht hinreichend ist, aus der reinen formalen Logik ist sie vollständig aber die Perspektive ist nicht die, die ich gesucht habe.
In welchem Zahlensystem magst Du Dich aufhalten? Die Mutter schneidet einen Apfel in 2 Hälften und jedes der beiden Kinder bekommt 0,5 Apfel…
Der springende Punkt ist ja eher das man hier plötzlich nicht mehr fragt wie viele Anteile jeder bekommt, sondern wie viele Personen man braucht für gewisse Anteile des ganzen.
Ich glaube eher der Fragesteller sucht nach einer holistischeren Perspektive was Brüche angeht.
Danke! Das war ein gutes Bild! Ich hatte irgendwie noch sowas hier, wäre das valide und wird so eine Ansicht auch in abstrakten büchern vertreten? Aus der Sicht der Welt wo die Menge 0,5 die Einheitseinheit bildet ist die 1 die in einer anderen Welt (wie unsere) die Einheitseinheit bildet 2 mal so groß. Daher ist 1/0,5 der Umrechnungsfaktor zwischen beiden Welten.