Erste Ableitung der Funktion mit Differentialquotienten.?

Problem/Ansatz:

Hey Leute, ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Ableitung. Könnt ihr mir bei diesem Beispiel helfen? Die reguläre Ableitung hat ja bestimmte Regeln, aber ich finde die Sache mit den Differentialquotienten verwirrend. Was bedeutet das Delta (Δ) in der Formel und wie setze ich es ein, geht die Funktion immer gegen Null?

Answer 1

[evtldocha]

Ich schreibe mal (und als h-Methode kennt man das allgemein auch):

$Δx\ =\ h$

(Δx = h ist der Abstand des Punktes x₀ ,der immer näher an x "heran wandert")

Dann:

$f'\left(x\right)=\lim_{h-0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim_{h-0}\frac{-\left(x+h\right)^3+x^3}{h}$ $=\lim_{h\to0}\frac{-\left(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\right)+x^3}{h}\ =$ $\lim_{h\to0}\frac{-3x^2\cdot h-3xh^2-h^3}{h}=-3x^2$

Nachtrag nach Kommentar zur letzten Zeile:

$\lim_{h\to0}\frac{-3x^2\cdot h\ -3xh^2-h^3}{h}=\lim_{h\to0}\left(\frac{-3x^2\cdot h}{h}-\frac{3xh^2}{h}-\frac{h^3}{h}\right)$ $=\ \lim_{h\to0}\left(-3x^2-3xh-h^2\right)=-3x^2-0-0\ =\ -3x^2$

Comments

[kingafghan]

Vielen Dank, ich verstehe die letze Schritt nicht so ganz, wieso fallen alle h's am ende weg?

[evtldocha]

@kingafghan

Der Bruch wird in 3 Teile geteilt und jeder der 3 Brüche wird mit "h" gekürzt dabei bleibt dann stehen:

-3x²-2xh -h²

wenn nun h gegen null geht der Grenzwert der beiden letzte Terme wegen der Multiplikation mit h ebenfalls gegen null und es bleibt der Term ohne "h"

Answer 2

[Wechselfreund]

Man darf ja nicht durch 0 teilen. Also lässt man nur delta x gegen 0 gehen.

Das Problem lässt sich beheben, da Zähler und Nenner die gleiche Nullstelle haben und somit delta x sich ausklammern und kürzen lässt. Da dann kein Bruch mehr vorhanden ist kann man im nach Division erhaltenen Term delta x = 0 einsetzen.

Schau hier mal in dem gelben Kasten

Answer 3

[Kaenguruh]

Du musst das ∆x gegen Null gehen lassen, also den Limes bilden.

Diese Formel ist der Differenzenquotient. Bildest Du den Limes für ∆x -> 0, so geht dieser über in den Differentialquotienten und der entspricht der Ableitung.

Comments

[evtldocha]

... Δx geht gegen null.

[Kaenguruh]

@evtldocha

Richtig. Ein Flüchtigkeitsfehler. Ist nun behoben.