Kann ich immer sagen, egal wie cos(Folge) aufgebaut ist, dass das beschränkt ist und somit konvergiert, gibt es eine Folge in cos, die nicht konvergiert?
cos(1/n) wäre ja z. B cos(0) somit habe ich Konvergenz gegen 1.
Der Cosinus ist ja aber auch allgemein beschränkt auf 1, kann man dadurch sagen, dass ich immer konvergent bin, egal was im cos ist? Selbst cos (-1^n) ist ja auch beschränkt, aber beim SInus würde das nicht mehr gehen oder?
2 Antworten
Kann ich immer sagen, egal wie cos(Folge) aufgebaut ist, dass das beschränkt ist und somit konvergiert,
Beschränkte folgen sind nicht automatisch konvergent. Also nein.
cos(1/n) wäre ja z. B cos(0) somit habe ich Konvergenz gegen 1.
Ja, da cos stetig ist.
kann man dadurch sagen, dass ich immer konvergent bin, egal was im cos ist?
Nein, du kannst zum einen nicht vom cosinus auf dich selbst schließen, und es gibt folgen die so aufgebaut sind und nicht konvergent sind.
Einfaches Gegenbeispiel:
cos(n*pi) ist offensichtlich nicht konvergent, da cos(n*pi)=(-1)^n
Kann ich immer sagen, egal wie cos(Folge) aufgebaut ist, dass das beschränkt ist
Ja, cos(aₙ) ist für jede (reelle) Folge (aₙ)ₙ beschränkt.
[...] und somit konvergiert
NEIN. Aus Beschränktheit folgt nicht unbedingt Konvergenz.
gibt es eine Folge in cos, die nicht konvergiert?
Ja. Passende Gegenbeispiele, die nicht konvergieren:
mit einer beliebigen divergenten Folge (dₙ)ₙ mit Werten in [-1, 1].
Oh Himmel, wieso ist denn cos(nphi)=(-1)^n nicht konvergent, es ist ja immer noch stwtig. Danke