Kann eine Funktion zwei globale Maxima haben?
Wenn zwei Maximumstellen den selben Wert, der auch der höchste in der Funktion ist, haben, sind das dann zwei globale Maxima oder einfach zwei lokale Maxima?
4 Antworten
Nein, ein globales Maximum einer Funktion f ist der Wert c der Funktion an einer Stelle x für den gilt:
c = f(x) >= f(y)
für alle y aus dem Definitionsbereich von f.
Wäre d ein weiteres globales Maximum von f an einer Stelle z, dann wäre:
d = f(z) >= f(x) = c = f(x) >= f(z) = d.
Und daher d = c.
Das globale Maximum einer Funktion kann hingegen mehrmals sogar unendlich mal angenommen werden. Also es muss nicht notwendigerweise auch z = x sein.
Eine Funktion kann sogar unendlich viele globale Maxima haben. Beispiel sind z.B. der Sinus und Cosinus von R nach R.
Da wäre jeder Punkt a in Rein globales Maxima, da für alle x aus dem Definitonsbereich gelten muss:
5=f(x)<=f(a)=5
Was erfüllt ist. Und es ist auch logisch kleinergleich in der Definition zu fordern, um eben solche Fälle miteinzuschließen. Dann es würde der Anschauung widersprechen, falls z.B. konstante Funktionen kein globales Maximum hätten.
Hab gerade nochmal nach der Definition geforscht. Bei dem, was ich gefunden habe, steht ein "kleinergleich" bzw. "größergleich". Demnach müssten auch zwei globale Extrema möglich sein.
Eine Funktion mit f(x) = 5 bestände demnach aus unendlich vielen globalen Maxima die gleichzeig auch globale Minima sind?!
Ich würde da (nach meinem Sprachempfinden) nicht von unendlich vielen Maxima (und Minima) sprechen, sondern von EINEM Wert (der Zahl 5), welcher gleichzeitig globales Maximum und globales Minimum dieser (konstanten) Funktion ist. Dass ein bestimmter (globaler) Maximalwert an unterschiedlichen Stellen (hier sogar an unendlich vielen Stellen) angenommen wird, erhöht nicht die Anzahl der globalen Maxima, sondern nur die Anzahl der (Extremal-) Stellen, an welchen dieser Wert angenommen wird.
Das Maximum ist nicht ein Punkt des Graphen, sondern nur ein maximaler y-Wert (welcher an mehr als einer Stelle des Graphen vorkommen kann).
Es sind beides globale Maxima mit dem gleichen Wert.
Das sind eben dann nicht zwei Maxima, sondern nur zwei Extremalpunkte des Graphen mit demselben y-Wert. Dieser maximale y-Wert ist dann das einzige "globale Maximum" der Funktion, welches von der Funktion an zwei verschiedenen Stellen (x-Werten) angenommen wird.
Was wäre z.B. mit f(x) = 5 ?