Wie zeige ich bei einer mehrdimensionale Funktion das es einen x=a ein globales Maximum ist?
Hallo. Ich habe eine Funktion von I in R^n nach R. Wenn man den Gradienten gleich Null setzt bekomme ich als einzige Lösung den Wert x=a raus. Somit kann ja x=a entwedet ein Sattelpunkt, lokales min/max sein. Meine Frage ist: Falls x=a ein lokales max. ist, ist es automatisch auch ein globales Maximum? Falls ja, wie kann ich dann zeigen das x=a ein lokales Maximum ist ohne die Hesse Matrix zu berechnen? Im 1 dimensionalen ist es ja einfach, man betrachtet x_1 < a < x_2 und falls:
f(x_1)<=f(a) und f(x_2)<=f(a) haben wir ein lokales maximum und auch globales maximum, da stetig (?). Gibt es ein ähnlichen Fall in R^n wo man werte im norm Kleiner betrachtet und einmal größer? Danke
1 Antwort
![](https://images.gutefrage.net/media/user/poseidon42/1460229407172_nmmslarge__0_0_383_383_3768e5723c9484f0368755f73e303a0e.jpg?v=1460229409000)
Falls x = a ein lokales Minimum einer hinreichend glatten Funktion f über I aus IR^n ist, ist es dann auch sofort ein globales Minimum?
--> Nein. Funktionen können mehrere lokale Minima aufweisen, von denen nicht einmal eines dem globalen Minimum entsprechen muss. Neben den lokalen Minima im Innern von I können Extrema nämlich auch auf dem Rand von I auftauchen, welche nicht durch die Standardkriterien für lokale Extrema detektiert werden können.
Bsp.:
f'(x) = (x - 1)*(x + 1)
f(x) = (x^3)/3 - x
auf dem Intervall I = [-5, 5]. Das lokale Minimum liegt offensichtlich bei x = 1, das globale Minimum jedoch bei x = -5 auf dem Rand, wie man durch Einsetzen bestätigt.
Was gilt es also zu tun?
1.) Bestimme alle lokalen Minima in I
2.) Bestimme Minima auf dem Rand von I
3.) Globales Minimum entspricht dem kleinsten aus 1.) und 2.).
Nun gibt es eine besondere Klasse von Funktionen, die einem das Leben ungemein vereinfacht. Für konvexe Funktionen gilt: Lokales Minimum = Globales Minimum
Angepasst folgt damit:
1.) Überprüfe ob f konvex ist
2.) Bestimme einfachen Extremalpunkt (Notwendige Beding: Gradient = 0)
Falls 2.) existiert --> Globales Minimum = Lokales Minimum = Extremalpunkt
Falls 2.) nicht innerhalb von I liegt, so liegt das Minimum auf dem Rand und man müsste nun das Minimum auf dem Rand finden. Hier wäre es in einen nächsten Schritt nützlich zu wissen, ob I eine konvexe Menge darstellt oder nicht.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/poseidon42/1460229407172_nmmslarge__0_0_383_383_3768e5723c9484f0368755f73e303a0e.jpg?v=1460229409000)
Im allgemeinen Nein, selbst wenn er der einzige ist. Das Grenzverhalten ist stets mitzubetrachten. (Es sei denn, wir wissen mehr über die Funktion und das Gebiet ... )
Siehe zum Beispiel die 2.Antwort von:
In meiner Frage ist noch erwähnt das es keine weitere extremwerte gibt als x=a. Ist dann automatisch ein lokales min. ein globales min?