Kann ein Bruch Irrational sein
4 Antworten
Schlägt man bei wikipedia unter "Bruch" nach, dann steht dort (als erste Bedeutung): "eine mathematische Darstellungsmöglichkeit rationaler Zahlen, siehe Bruchrechnung"
Gehe ich dann weiter nach "Bruchrechnung", dann findet man:
"Im engeren Sinn bezeichnet Bruchrechnung das Rechnen mit gemeinen Brüchen (manchmal auch gewöhnlichen Brüchen) in der „Zähler-Bruchstrich-Nenner-Schreibweise“ (siehe unten). Bruchrechnung gehört damit zur Arithmetik, einem Teilgebiet der Mathematik.
In einem weiteren Sinn wird das Wort auch für das Rechnen mit rationalen Zahlen gebraucht, gleichgültig, in welcher Schreibweise sie vorliegen." (http://de.wikipedia.org/wiki/Bruchrechnung)
Ein Bruch ist im Allgemeinen Sprachgebrauch ein Quotient mit ganzzahligem Zähler und Nenner und daher immer rational. (also ein spezieller Quotient - genauso wie eine Kuh ein spezielles Säugetier ist).
Schau dir die Defintinition von "rational" an!
PS
Allgemeiner sind die Begriffe "Bruchterm" und eben "Quotient". Sowas wie π/2 ist ein Quotient, es ist auch ein Sonderfall eines Bruchterms, aber es ist kein Bruch.
- Jeder Bruch ist ein Quotient, aber nicht jeder Quotient ist ein Bruch.
- Jeder Bruch ist auch ein Bruchterm, aber nicht jeder Bruchterm ist ein Bruch.
Das ist genauso wie:
- Jede Kuh ist ein Säugetier, aber nicht jedes Säugetier ist eine Kuh.
Die Argumentation, π/2 sei ein Bruch, ist ungefähr so wie: "Eine Kuh kann auch ein Raubtier sein, weil: Kühe sind Säugetiere, Löwen sind aber auch Säugetier und es sind Raubtiere."
Dass Kühe und Löwen beide zu den Säugetieren gehören, macht aus einer Kuh kein Raubtier. Das wäre offensichtlicher Unsinn.
Genauso ist es unsinnig zusagen "Weil der Bruch 2/3 ein Quotient ist und π/2 auch ein Quotient ist, darum ist π/2 ein Bruch." - das ist genauso falsch
- 2/3 ist ein Quotient und ein Bruch (weil Zähler und Nenner ganzzahlig sind)
- π/2 ist ein Quotient (und ein Bruchterm) aber kein Bruch.
Genauso wie:
- Ein Löwe ist ein Säugetier und ein Raubtier.
- Eine Kuh ist ein Säugetier aber kein Raubtier.
Man beachte, dass sowas wie (2/3)/7 etc ebenfalls kein Bruch ist (im Zähler steht keine ganze Zahl), sondern ein Doppelbruch (wikipedia->Doppelbruch). Es ist aber (im Gegensatz zu π/2) in einen Bruch umrechenbar:
(2/3)/7 = 2 / (3*7) = 2/21
2/21 ist nun wieder ein Bruch. Der Quotient (2/3)/7 konnte in einen Bruch umgeformt werden. Und ich sehe daran, dass (2/3)/7 rational ist.
Dagegen kann man den Quotienten π/2 nicht in einen Bruch umformen.
Gibt es also Leute, die so definieren? Ich hätte bzw. habe es mit einer eindeutigen Definition getan, was rationale Zahlen angeht.
Jedenfalls vielen Dank für die Information.
Im engeren Sinn bezeichnet Bruchrechnung das Rechnen mit gemeinen Brüchen
Jetzt würde mich nur noch der "weitere" Sinn interessieren. Denn schon bei uns in der Schule (lange her!) hat man vom "Rationalmachen des Nenners" gesprochen. Und Nenner wie Zähler sind für mich (nicht nur umgangssprachlich) Bestandteile eines Bruches. Auch die Bücher argumentierten so.
"Quotient" ist ja gut und schön, aber bisher habe ich noch nicht gehört, dass allgemein dann auch "Dividend" und "Divisor" anstatt Zähler und Nenner verwendet wird. Aber man könnte ja mal darüber nachdenken ...
Wie immer in der Mathematik kommt es auf die Definition an. Eine rationale Zahl ist definiert durch einen Bruch aus ganzen Zahlen {p/q mit q≠0}.
Wenn man schon eine irrationale Zahl hat, ist natürlich auch jeder ganzzahlige Bruchteil davon wieder irrational, z.B. (√2) / 2.
Bei irrationalen Nennern kann gelegentlich etwas Rationales herauskommen, aber die Regel ist es nicht.
√2 / √32 = 1/4
Pi/2 ist z.B. ein Bruch, aber sicher nicht rational.
Pi/2 ist z.B. ein Bruch,
Das ist ein Quotient (und auch ein Bruchterm), aber kein Bruch.
Ein Bruch ist ein Quotient zweier ganzer Zahlen und daher rational.