Pi irrational, trotz "Pi=U/D"?
Hallo, Pi ist ja eine irrationale Zahl, welche sich sinmgemäß auch nicht als Bruch darstellen lassen können sollte.Jedoch, ist Pi ja der Bruch U/D, Sprich:"Pi=U/D" Demnach lässt sich Pi als Bruch darstellen und ist doch nicht irrational, ist das nicht ein häftiger Widerspruch?Ich bin mir sicher es gibt eine "rationale" Erklärung dafür ;) Ps:Wortspiel beabsichtigt :)
6 Antworten
U/d ist kein Bruch im herkömmlichen Sinn. Im herkömmlichen Sinn ist ein Bruch ein Zahlentupel (a,b) einer Äquivalenzklasse, wobei a und b Ganze Zahlen sind oder je nach Definition b eine Natürlich Zahl sein muss.
U/d ist eine Rechenoperation. U wird durch d geteilt. Mindestens eines von beiden muss eine irrationale Zahl sein, weil nur so kann aus dem Verhältnis eine weitere irrationale Zahl entstehen, nämlich Pi.
Für den Kreis gilt:
u ~ d bzw. u / d = konstant
Diese Konstante heißt pi und ist eine irrationale Zahl, die (wie viele andere Naturkonstanten auch) von Natur aus feststehen. Sie sind in das System der Naturgesetze eingebunden und nicht manipulierbar.
Es gibt eben auch irrationale Brüche.
LG
Ein gemeiner Bruch muss doch nicht unbedingt eine rationale Zahl sein. Wenn man bei Umwandeln des gemeinen Bruches einen unendlichen, nicht periodischen Dezimalbruch erhält, dann ist dieser Bruch eine irrationale Zahl.
Es gibt viele solcher scheinbaren Widersprüche, wenn man die theoretische Mathematik (kennt keine Grenzen) der realen Physik (zig Obergrenzen) gegenüberstellt!
Zunächst muss man sich klar machen, dass Pi NICHT nur was mit dem Kreis zu tun hat! http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
zeigt in über 100 Algorithmen (Bildungsvorschriften = Berechnungsmöglichkeiten), dass diese Konstante fast überall auftaucht! Selbst aus Primzahlen oder Fibonacci-Zahlen kann man Pi berechnen. Unterschiede gibt es in der Konvergenzgeschwindigkeit, also wie lange man rechnen muss um n von unendlich vielen Nachkommastellen zu bekommen.
Unter "6. Bruch-Funktionen, die gegen Pi konvergieren" gibt es Algorithmen, wie man sich mit Brüchen an Pi annähern kann -> aber Pi NIE (erst wenn Zähler und Nenner unendlich groß sind) erreicht.
Nun zum physikalischen Teil: da es überall Obergrenzen gibt, gibt es auch keinen absolut perfekten Kreis:
- es gibt nur 10^80 Atome im Weltall -> max = 10^80 Eck
- kleinste Planck-Länge größer als 10^(-36) m -> nur n-Eck damit möglich
- Weltall hat endliche Größe ...
- alle Planck Einheiten haben feste untere Grenze (auch für Flugbahn)!
Gabriels Horn ist genau so ein Widerspruch (Paradoxon) aus der theoretischen Mathematik: Endliches Volumen ABER unendlich große Fläche. Nur weil die Mathematik bis unendlich klein rechnen kann, ABER in der realen Welt keine festen Körper unter Atomgröße existieren.
Gemäß Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie ist der Durchmesser D einer massiven Kugel größer als U/pi. Es gilt also U/D < pi. Ist das Verhältnis U/D dann auch in jedem Fall irrational? Jemand hat mir gesagt, dass das bewiesen sei. Aber stimmt es auch wirklich?
Wenn U und D eindeutig definiert wären stimmt das. Sind sie aber nicht.
Du kannst Pi nicht als Bruch rationaler Zahlen darstellen, das wäre die richtige Definition. U und D sind aber keine rat. Zahlen sondern Variablen.
Hmm, also wenn man den Einheitskreis nimmt;also, D=1 U=Pi , dann stimmt das doch, sind ja beides reele Zahlen, wenn wir D verdoppeln, verdoppelt sich auch U, also D=2 und U=2Pi, hier stimmt es auch wieder 2Pi/2=Pi, schon wieder bewieson, oder mache ich da etwas grundlegend falsch?Könntest du es mir an einem Beispiel zeigen?
nee, auch im Einheitskreis ist D eine Variable, bzw. kannst du Pi nicht bestimmen weil dir D nicht bekannt ist. Durch deine Ausführun oben hast du ja auch nur bewiesen, dass 1=1 ist ;o)
Es gibt wohl einen Beweis von Ivan Niven, aber den kann ich dir leider nicht vorrechnen, ist nicht so trivial.
Leider beantwortet das nicht meine Frage :/