k so bestimmen das Tiefpunkte bei y=-1 liegen?

x^4-k*x^2 ist gegeben.

Y Koordinate der Tiefpunkte ist y=1

K soll so ermittelt werden, so das dass zutrifft.

Es geht um b)

Danke!

Answer 1

[nobytree2]

$\left(x^4-kx^2\right)'=4x^3-2kx=2x\left(2x^2-k\right)=0\ \ \to\ x=0\ \vee\ x=\pm\sqrt{\frac{k}{2}}$ $\left(x^4-kx^2\right)''=\left(4x^3-2kx\right)'=12x^2-2k$

Jetzt soll der Tiefpunkt bei -1 liegen, also muss bei f(x) = -1 gelten f(x)' = 0. Probieren wir die Stelle bei x = 0 als möglicher Extremwert. Wenn x = 0, dann ist f(0) ungleich - 1. Das ist also nicht die Stelle, an welcher wir suchen müssen, sondern bei x plus minus Wurzel k halbe.

Also

$x^4-kx^2=-1\ \ und\ x=\pm\sqrt{\frac{k}{2}}\to k=2x^2$ wir setzen ein

$x^4-\left(2x^2\right)x^2=-1\ \to-x^4=-1\to x^4=1\ \to x=\pm1\ \ k=2$

Probieren wir das aus

$f\left(x\right)=x^4-2x^2\ \ \to f\left(-1\right)=f\left(1\right)=1-2=-1$ $f\left(-1\right)'=-2\left(2\left(-1\right)^2-2\right)=0=2\left(2-2\right)=f\left(1\right)'$ $f\left(-1\right)''=12\cdot\left(-1\right)^2-4=f\left(1\right)''>0\ \to Tiefpunkt$

Comments

[MaxBelAir]

x4−kx2=−1  und x=±2k​​→k=2x2

Kannst du diesen Schritt genauer erklären?

[nobytree2]

@MaxBelAir

Das erste ist f(x)=-1 das zweite eine Bedingung für das Minimum