Eigenwerte / Eigenvektoren einer Matrix, was sagen sie aus?
Frage steht oben, sagen wir ich habe eine 3x3 Matrix, dazu die Eigenwerte und Eigenvektoren. Was sagen diese nun genau aus und was kann ich nun mit dieser speziellen Matrix der Eigenwerte anstellen bzw die Eigenvektoren?
stimmt das, dass die Eigenvektoren eine orthogonalbasis bilden?
und was passiert da bei einer hauptachsentransformation, das geht dich mit diagonalmatrizen besonders einfach, die nur werte an der Diagonale haben. Wieso ist das so?
danke
2 Antworten
Eine Matrix kann als Lineare Abbildung einen Vektor drehen und strecken. Auf Eigenvektoren reagiert die Matrix nur durch Streckung (ohne Drehung).
w=A*v (allgemein)
w=lambda*v (lambda skalar)
Für Eigenvektoren vereinfacht sich also die Matrix zu einem Skalar.
Für reelle symmetrische und für hermitesche Matrizen kannst du immer auch eine vollständige Orthonormalbasis aus Eigenvektoren bilden (die Eigenvektoren stehen hier senkrecht).
Deine Basisvektoren sind im Allgemeinen keine Eigenvektoren. Mit der Hauptachsentransformation drehst du jene nun quasi so, dass sie mit den Eigenvektoren übereinstimmen. Dann vereinfachen sich die Rechnungen, da die Matrix nur noch Diagonalelemente von 0 verschieden hat. Ll (Diagonalmatrix).
Ein Beispiel: Jeder starre Körper hat 3 Hauptträgheitsachsen, also freie Achsen um die er sich ohne Taumeln drehen kann. Diese Achsen sind natürlich fest mit dem Körper verbunden. Das sind quasi seine Eigenvektoren. Du drehst die Tensormatrix nun so, dass deine Basisvektoren mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallen.
Du erhältst eine Diagonalmatrix, in der die Diagonalelemente die Trägheitsmomente um jede der HTAn angibt (diese Werte sind auch gleichzeitig die Eigenwerte).
Für einen sphärische Kreisel sind aus Symmetriegründen alle Eigenwerte gleich und jeder Vektor ist ein Eigenvektoren.
Nein, ist es auch nicht.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation#/media/Datei:HAT-ellipse2.svg
Hier in diesem Bild siehst du zum Beispiel eine 2-dimensionale Ellipse, welche du in einer Ellipsengleichung darstellen kannst. Die Ellipse ist jetzt natürlich gegenüber dem Koordinatensystem (Basisvektoren) gedreht und deswegen ist die Gleichung deutlich komplizierter als gewöhnlich. Drehst du nun dein Koordinatensystem so, dass die Achsen mit den Hauptachsen übereinstimmen vereinfacht sich die Gleichung in die gewohnte Form.
Die Trägheit eines starren Körpers stellt nun einen 3-dimensionalen Ellipsoiden dar.
https://de.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%A4gheitsellipsoid#/media/Datei:Traegheitsellipsoid.png
Als Tensor ergibt dir dieser Ellipsoid dann eine symmetrische reelle Matrix. Jetzt macht man das gleiche wie oben. Diese geometrische Vorstellung reicht eigentlich als Anschauung für die Hauptachsentransformation. Der Rest ist einfach sture Anwendung der Mathematik.
Bei einfachen Körpern, wie z. B. einem Quader, erkennst du die Hauptträgheitsachsen ja bereits mit bloßem Auge auf Grund der Symmetrie. Wenn du schlau bist legst du also bereits zu Beginn die Achsen entlang dieser Symmetrien und der Tensor ist dann bereits in Diagonalform. Bei komplizierten Körpern erkennt man es nicht so leicht und dann hilft die Hauptachsentransformation.
Die orthogonalen Matrizen S in D=S^T A S stellen einfach nur Drehspiegelungen, wie alle orthogonalen Matrizen, dar. Diese übernehmen die Drehung der Achsen etc. Da du in die Spalten von S die Eigenvektoren packst erkennt man es auch sehr leicht. Der Vektor (1,0) angewandt auf S = (v1 | v2) ergibt dann einfach den Eigenvektor v1 und (0,1) den Vektor v2.
Ein Eigenwert ist ein Wert, für den gilt, dass wenn die die Matrix A mit dem Vektor x multipliziert wird, das produkt gleich dem eigenwert mal dem vektor x ist. Du kannst also die ganze matrix durch den eigenwert ersetzen, das ist praktisch bei Differentialgleichungen
Dankeschön für die tolle Antwort, ist also doch nicht so eine hexerei wie ich anfangs dachte!