Matrix bestimmen aus Eigenvektoren und Eigenwerten?
Wie kann ich aus gegebenen Eigenvektoren mit den zugehörigen Eigenwerten die Matrix daraus bestimmen?
Ich habe gegeben:
Ich weiß, dass die Matrix gesuchte A*v_n=lambda_n*v_n ist, also die Matrix mal den Vektor muss das Eigenwert-Vielfache des Vektors sein.
Aber wenn ich mir eine 3x3 Matrix ausdenke, und die Matrixmultiplikation durchführe, bekomm ich ja 3 mal eine 3x1 Matrix und ich komme irgendwie nicht wirklich darauf, wie man die einzelnen Werte für die Matrix daraus bekommt. Gibt es da einen schnellen weg?
2 Antworten
Es gibt auf jeden Fall einen langsamen Weg:
Du kannst die Matrix allgemeinen mit a_1,1 bis a_3,3 beschriften und die drei Eugenvektoren dran multiplizieren und das dann mit Eigenwert*Eigenvektor gleichsetzen. So erhältst du ein Gleichungssystem, welches du lösen kannst.
Kann ich verstehen, könnte sein, dass du das auch mit dem Gauß-Newton-Verfahren machen kannst, indem du die Matrix rechts so umstellt, dass die Eigenwerte da stehen.
Die Matrix A ist offensichtlich diagonalisierbar, da sie ja 3 verschiedene Eigenwerte hat. Demzufolge ist
D = S^-1AS,
wobei D eine Diagonalmatrix der Eigenwerte und S die Matrix aus den zugehörigen Eigenvektoren (in richtiger Reihenfolge natürlich) ist.
Du mußt also lediglich umrechnen
SDS^-1 = A
Also, S invertieren, geeignet multiplizieren und du hast A. Probe nicht vergessen.
Ist es nicht, da das Invertieren einer Matrix auch aufwändig ist, du mußt schließlich auch hier drei Gleichungssysteme mit drei Unbekannten lösen. Es ist nur der direkte Weg. Am Ende aber nichts anderes als @Wandara vorgeschlagen hat.
Aber es gibt noch eine Eigenschaft von Eigenvektoren die du prüfen kannst. Das macht das Invertieren etwas einfacher :-).
Ja, dann habe ich 9 unbekannte, die ich bestimmen muss, deshalb frage ich mich, ob das schneller geht, da habe ich ehrlich gesagt keine Lust drauf xD