Interferenz zweier Wellen?
Hallo ihr lieben, ich brauche dringend hilfe bei folgender Aufgabe . Ich raffe bei der Aufgabe nichts. wäre echt nett wenn ihr mir helfen würdet.
Zwei Wellen laufen in gleicher Richtung eine Saite entlang. Sie stimmen in der Frequenz f=100Hz, der Amplitude sM= 2cm und der Wellenlänge λ=2cm überein. Ermitteln sie die Amplitude der resultierenden Welle, wenn der Gangunterschied zwischen den Wellen λ/6 bzw. 3/8λ beträgt.
Danke
2 Antworten
Du hast zwei sinus-Funktionen, die sich in ihrem Argument um eine Phasenverschiebung a unterscheiden:
f1(x) = sin(x) f2(x)=sin(x+a)
Summensatz:
(f1+f2)(x) = 2 cos(a/2) sin(x+a/2)
Die Amplitude der Resultierenden ist daher
A(res)=|2 cos(a/2)|
Bei Dir:
A(res) = 2*2*cos(2π/6) = 2
bzw.
A(res) = |2*2*cos(2π*3/8)| = 2 *√2
Zünftige Physiker rechnen sowieso mit dem ===> Wellenvektor k, weil wenn du eine Welle nach Komponenten zerlegst, dann verhält sich nicht ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit c wie ein Vektor, sondern wie gesagt der Wellenvektor k.
Der Frequenzbeziehung
w / v = 2 Pi ( 1.1a )
steht hier gegenüber
Lambda * k = 2 Pi ( 1.1b )
Außerdem schreiben gebildete Menschen Wellen immer ===> komplex:
A ( x : t ) = A0 exp i ( k x - w t ) ( 1.2 )
Und jetzt hast du eben
A1 ( x ; t ) = A0 exp i [ k ( x + 1/6 Lambda ) - wt ] ( 1.3 )
Ich schick erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist. Es folgt aber noch ein Teil 2 .
Ich verweise auf Wiki bzw. die Literatur in teoretischer Physik. " exp " ist die gängige Abkürzung für die e-Funktion; kann ich den ===> Eulersatz mit seiner ===> komplexen Zeigerdarstellung voraus setzen?
exp ( i x ) = cos ( x ) + i sin ( x ) ( 2.1 )
Der vorteil; ein periodischer Vorgang, den du in der Form ( 2.1 ) schreibst, stellt nicht mehr eigentlich eine Schwingung dar, sondern im Einheitskreis hast du einen rotierenden Zeiger der Länge Eins - der selbe Vorteil in der TEORIE , wie ihn in der Praxis Drehstrom gegenüber dem naiven Wechselstrom bietet. Ferner hast du ja mit der e-Funktion jene äußerst praktische Identität, wie sie Sinus und Kosinus nicht zu bieten vermögen:
exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ) ( 2.2 )
Schon mal von dem Witz gehört
" Der kürzeste Umweg zur reellenA nalysis führt immer noch über die komplexe Ebene. "
Eine Welle ist an sich ein vierdimensionales Geschehen, beschrieben durch einen Vektor, den " Aufpunkt " x so wie die Zeit t :
A ( x ; t ) = A0 exp i ( < k | x > - w t ) ( 2.3 )
Du musst doch die Intensität der Welle angeben an jedem Ort x zu jeder Zeit t . wie du siehst, ist eine Welle ein periodischer Vorgang in beiden Variablen.
Die spitzen Klammern entsprechen der ===> Dirac Schreibweise des ===> Skalarprodukts.
( Wer Einstein ist, weiß jeder. Paul antoine Marie Dirac bekam den Nobelpreis für seine Vorhersage der Antimaterie. Jeder weiß, was Antimaterie ist; wer weiß schon, wie man " Dirac " richtig ausspricht? )
Skalarprodukt ist schon wichtig, weil du ja den Aufpunkt x projizieren musst auf die Ausbreitungsrichtung k; das muss man sich einfach mal alles selber in einer stillen Minute klar machen.
In der QM ist übrigens Schluss mit reellen Wellen ...
Aber da wir hier sowieso eine eindimensionale Saite haben, wollte ich es nicht ganz so kompliziert machen und habe das Skalarprodukt durch das gewöhnliche Produkt ersetzt.
Hier das ist doch ein witz. Wenn ich sage anale Phase oder Aaschloch. Geht unbesehen durch. AberA nalysis nicht. Und spanisch " Cabalero " gilt als unanständig, so bald ich es korrekt schreibe mit zwei " LL "
Mein ursprüngliches Ziel war, die Resultierende nach Betrag und Phase zu konstruieren.
In ( 1.3 ) beachtest du ( 1.1b )
A1 ( x ; t ) = A0 exp i [ k ( x + 1/3 Pi ) - wt ] ( 3.1a )
Du musst also einfach die Summe bilden aus ( 1.2 ) und ( 3.1a ) ===> Superposition . Dabei hilft uns doch diese e-Funktion ganz enorm; überleg doch mal, was wir alles an gemeinsamen Vorfaktoren ausklammern können:
A ( x : t ) + A1 ( x ; t ) = A0 exp i ( k x - w t ) ( 1 + exp 1/3 Pi i ) ( 3.1b )
Kennst du in der ===> komplexen Wechselstromrechnung das ===> Zeigerdiagramm? Genau die rechteste Klammer von ( 3.1b ) , die beinhaltet doch jetzt die Info über die Phasenverschiebung und Betrag der Amplitude. Nach ( 2.1 ) hast du
1 + exp ( 1/3 Pi i ) = [ 1 + cos ( 1/3 Pi ] + i sin ( 1/3 Pi ) = ( 3.2a )
= 3/2 + 1/2 i sqr ( 3 ) ( 3.2b )
Wenn du in ( 3.1b ) das Betragsquadrat nimmst; also " Mal komplex konjugiert " , dann fallen doch diese ganzen e-Funktionen unter den Tisch; siehst du das? Eine der wesentlichsten Vereinfachungen dieses e-Ansatzes; das liegt wie gesagt daran, dass wir hier einen rotierenden Zeiger von konstantem Betrag haben:
( A + A1 ) ( A * + A1 * ) = A0 A0 * ( 9/4 + 3/4 ) = ( 3.3a )
= 3 | A0 | ² ( 3.3b )
Die Ausgangsamplitider der beiden Wellen hat sich also in Summa verstärkt um den Faktor sqr ( 3 ) bzw. die Intensität verdreifacht. Um die Phase zu ermitteln, müssen wir offenbar ( 3.2b ) durch dieses sqr ( 3 ) teilen:
( 3.2b ) / sqr ( 3 ) = 1/2 sqr ( 3 ) + 1/2 i = exp ( 1/6 Pi i ) ( 3.4 )
Du musst das jetzt so sehen: Lambda entspricht einer Phasenverschiebung um 2 Pi , 1/6 Lambda demnach 1/3 Pi zwischen den beiden Wellen. Das war aber grade der Ausgangspunkt. Somit weist die Resultierende in ( 3.4 ) nur die HALBE Phasenverschiebung auf - irgendwo logisch. Beide Amplituden sind ja vom Betrag her gleich.
Das war aber voll die naive Herangehensweise. Nach deiner Rückfrage habe ich mich doch entschlossen, es etwas ausführlicher zu machen. Im nächsten Teil folgt jetzt der Trick.
Der Trick 17 . Halbe Phase bedeutet genau genommen ===> geometrisches Mittel, weil bei diesem e-spielchen die Phase immer im Exponenten auftaucht. Also bin ich doch mal Mega schlau und ziehe gleich aus der linken Seite von ( 3.2a ) den ( erwarteten ) Faktor exp ( 1/6 Pi i ) heraus ( ohne mich darum zu scheren, was genau Kosinus und Sinus von Pi /6 ist - das ist ja gerade der Trick.)
1 + exp ( 1/3 Pi i ) = exp ( 1/6 Pi i ) [ exp ( + 1/6 Pi i ) + exp ( - 1/6 Pi i ) ] ( 4.1 )
schau mal in den Bronstein; die eckige Klammer hat genau den Wert 2 cos ( 1/6 Pi ) , das kannst du dir übrigens direkt aus ( 2.1 ) klar machen.
1 + exp ( 1/3 Pi i ) = 2 exp ( 1/6 Pi i ) cos ( 1/6 Pi ) ( 4.2 )
Naa stimmts? Eine Lösung mit Knoff hofff ...
denn*