Integralrechnung: Drehparaboloid im Becherglas?
Hallo liebe Community, als Hausaufgaben sollen wir folgende Aufgabe erledigen: Wenn ein Becherglas in Rotation versetzt wird, dann drückt sich die Flüssigkeit am Rand Rand hoch und es bildet sich ein Paraboloid aus. Die Gleichung lautet: f (x)=0.5x^2+2. Bestimmen Sie das Volumen des Wassers im Becherglas. Wie hoch stand das Wasser im Becherglas im Ruhestand. Nun haben wir noch folgenden Tipp bekommen: Die Integralfunktion für das Rotationsvolumen gilt nur für die Rotation um die x-Achse. Deshalb muss man die Umkehrfunktion zur quadratischen Funktion finden. Bestimmung der Umkehrfunktion zu y=ax^2+b. 1. Gleichung nach x auflösen: x=(y/a-b/a)^1/2 und als zweites tauscht man die Variablen x und y aus. Kommen wir nun zum meinem Lösungsansatz. Bei der ersten Fragestellung hätte ich gesagt, dass man nun die Gleichung, die man erhält, wenn man y und x umtauscht in die Gleichung die man hat, wenn ein Rotationskörper um die x-Achse rotiert. Also pi mal das Integral von (f (x))^2 dx. Macht das Sinn? Bei der zweiten Fragestellung habe ich leider keinen Ansatz. Ich hoffe meine Frage ist auf Grund der Schreibweise der Formeln trotzdem einigermaßen klar. Danke schon einmal im Voraus!
3 Antworten
Hallo,
unterhalb von y=2 ist das Volumen des Wassers einfach das eines Zylinders mit der Höhe 2 und dem Radius x. Wenn x, der Radius des Bechers, gegeben ist (davon schreibst Du nichts), hast Du es mit einem konstanten Volumen zu tun, nämlich Pi*x²*2 (Grundfläche mal Höhe).
Darüber ist der Teil des Bechers, in dem sich das Wasser zu einem Rotationsparaboloid verformt. Dessen Höhe hängt davon ab, wie groß x ist, denn sie ist f(x), wobei die 2 hier schon abgezogen werden kann:
f(x)=0,5x²
Dieser Teil des Bechers hat das Volumen Pi*x²*0,5x²=0,5*Pi*x^4 (brauchst Du für die Berechnung nicht wirklich).
Von dem Volumen des Bechers müssen wir das Volumen des Paraboloids abziehen, den wir vorher um 90° nach rechts gekippt haben, um ihn um die x-Achse rotieren zu lassen. Wir bilden die Umkehrfunktion zu
y=0,5x², indem wir x und y vertauschen und neu nach y auflösen:
x=0,5y²
y²=2x
y=Wurzel (2x), g(x)=Wurzel (2x), (g(x))²=2x
Das Volumen des Paraboloids ist Pi mal das Integral von (g(x))²,
also Pi mal Integral von 2x gleich Pi mal x².
Das ziehst Du vom Volumen des Bechers ab, wobei Du als Obergrenze des Integrals den Funktionswert von f(x) einsetzt.
Sagen wir, der Becher habe einen Radius von 3 cm, dann beträgt die Höhe des Teils, in dem sich das Wasser zu einem Paraboloid verformt hat,
0,5*3²=4,5 cm.
Da wir die Spitze des Paraboloids auf Null gesetzt haben, indem wir die Konstante 2 in der Funktion weggelassen haben, brauchen wir nur 4,5 als obere Grenze einzusetzen, denn für die untere Grenze 0 istdas Integral auch 0:
Volumen daher Pi*4,5²=63,62 cm³
Das Becherglas hat bei einem Radius von 3 cm und einer Höhe von insgesamt 6,5 cm (4,5+2) ein Volumen von Pi*3²*6,5=183,78 cm³.
Ziehst Du davon die 63,62 cm³ ab, kommst Du auf ein Volumen von
120,16 cm³.
Wenn Du das wieder durch die Grundfläche des Bechers teils, kommst Du auf die Füllhöhe des nicht rotierenden Bechers:
120,16/(9Pi)=4,25 cm.
Das gilt bei einer angenommenen Breite des Bechers von 6 cm (2*Radius).
Für andere Radien mußt Du die entsprechenden Werte einsetzen.
Indem Du durch das Abziehen der Konstante 2 aus der ursprünglichen Funktion den Paraboloid bis zum Ursprung heruntergezogen hast, läßt sich das Integral leichter berechnen. Du darfst bei der Volumenberechnung dann nur nicht den unteren zylindrischen Teil des Wassers vergessen, der sich beim Rotieren nicht verformt und so einfach eine additive Konstante darstellt.
Herzliche Grüße,
Willy
also du machst das mit der Umkehrfunktion fürs becherglas und für das wasser. dann setzt du beide funktionen gleich. damit bestimmtst du wie hoch das wasser ist wenn es rotiert. dann integral (volumenberechnung) von 0 bis zum x vom schnittpunkt mit der Funktion vom becherglas und vom wasser. 1. ist damit gelöst und für 2. musst du das volumen des wassers gleich der becherglas Funktion setzen und nach x umstellen. das x davon ist dann die hohe vom wasser in ruhe. der trick ist der, dass egal ob das wasser rotiert oder nicht, das wasservolumen gleich bleibt. und dementsprechend kann man Gleichungen aufstellen.
Es gilt zu berechnen:
Int[ V ]{ dV } = ...
Das Volumen von V. Die Menge V ist gerade gegeben durch:
V = { x aus IR^3 | z = 0.5*(x² + y²) + 2 mit 0 < x² + y² < R² }
(R ist dabei der Radius des zylinderförmigen Glases)
Wir sehen an der Stelle, dass es sich lohnt eine Koordinatentransformation durchzuführen von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten:
x = Q(r,p,z) = ( cos(p)*r , sin(p)*r , z )^T
mit p aus [0, 2pi), r aus IR^+ und z aus IR.
V lässt sich nun darstellen als:
V = { x aus IR^3 | x = Q(r,p,z) ; z = 0.5r² + 2 , 0 < r < R , p aus [0, 2pi) }
|det( J[Q] )| = r
folgt mit dem Transformationssatz:
Int[ V ]{ dxdydz } = Int[ V ]{ r drdpdz }
Explizites Aussschreiben der Intervalle liefert uns:
= Int[0, 2pi][0, R][0, z(r)]{ r dzdrdp }
Dieses Integral können wir nun ausrechnen:
= 2pi* Int[0, R][0, z(r)]{ r dzdr }
= 2pi* Int[0, R]{ r*z(r) dr } = 2pi* Int[0, R]{ 0.5*r^3 + 2r dr }
= 2pi*( 0.125*R^4 + R^2 )
Somit erhalten wir das Volumen V(W) des Wassers zu:
V(W) = 2pi*( 0.125*R^4 + R^2 )
Das das Gesamtvolumen nahezu konstant ist (Wasser als inkompressible Flüssigkeit) können wir annehmen, dass das Wasser in Ruhe in guter Näherung das gleiche Volumen ausfüllt. Die Form die es dabei annimmt entspricht gerade die eines Zylinders. Das Volumen eines Zylinders berechnet sich gerade zu:
V(Z) = (1/3)*(pi*R²)*h
mit R Radius der Grundfläche und h der Höhe.
Gesucht ist nun gerade der Wasserstand h, wenn das Wasser in Ruhe ist. Bei bekanntem Radius der Grundfläche R folgt damit:
V(Z) = V(W)
somit also:
(1/3)*(pi*R²)*h = 2pi*( 0.125*R^4 + R^2 )
--> h = h(R) = 6*(0.125*R² + 1)
Somit folgt dann die Höhe des Wasserstandes in Ruhe zu:
h(R) = 6*(0.125*R² + 1)