Rotationskörper Mathe
Hallo ihr Lieben :)
Ich pauke gerade fürs Abi und tue mich mit einer Aufgabe in Mathe etwas schwer.
Sie lautet: Gegeben ist die Funktion g durch g(x)=3e^-x Das Schaubild von g, die beiden Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung x=2,5 begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche exakt. (Das habe ich selbst noch lösen können.) Diese Fläche rotiert um die x-Achse. Dabei entsteht ein Rotationskörper. Der Rotationskörper wird so durchbohrt, dass die Bohrachse mit seiner Symmetrieachse übereinstimmt. Diese Bohrung hat den Durchmesser 1. Welches Volumen hat der Restkörper?
So ich weiß zwar, wie die Formel für die Voluminaberechnung des Rotationskörpers geht, aber ich komme absolut nicht auf die richtige Lösung. Die Lösung habe ich zwar, aber sie bringt mir nicht viel, da ich den Weg nicht verstehe.
Könnt ihr mir vielleicht weiterhelfen?
Liebe Grüße und vielen Dank! :)
2 Antworten
Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe, dann handelt es sich bei dem Bohrkern nicht um einen Zylinder. Das liegt daran, dass der Graph der Funktion sich nach oben verjüngt, bis die x-Werte kleiner als der Radius des Bohrlochs sind. Würde man nun einen Zylinder abziehen, würde man auch einen Bereich abziehen, der zum ursprünglichen Rotationskörper Rg(x) gar nicht gehört, wie im Bild dargestellt.
Dieser Bereich muss also wieder abgezogen werden. Die Fläche, um die es sich handelt, ist gleich dem Integral im Bereich [0;0.5] der Funktion f(x) = 3(e^x)+3 wie im zweiten Bild zu sehen. Dessen Rotationskörper Rf(x) muss am Ende also wieder zum gesamten Volumen addiert werden.
Insgesamt lautet die Formel also:
Rg(x) - 3*pi + Rf(x)
Wie gesagt bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Wenn nicht, korrigiert mich bitte!
Die Symmetrieachse ist ja die x-Achse. Der Durchmesser der Bohrung ist 1, also ist der Radius 1/2. Du berechnest also das Rotationsvolumen von f(x)=0,5 und ziehst dieses vom ganzen Rotationsvolumen ab. Vorher bestimmst du noch die Grenzen, indem du den Schnittpunkt berechnest.
Grundsätzlich gebe ich dir recht. Aber Teelich800 schrieb in der Frage, dass er/sie die Formel für das Rotationsvolumen kennt. Und ich weiß nicht, ob man in der Abiprüfung nicht auch bei der Bohrung das Rotationsvolumen verlangt.
Von der Idee her finde ich diesen Lösungsvorschlag ok. Ergänzungen:
1) Teelicht800 ist möglicherweise nicht klar, wie sich in Rotationsvolumen berechnen lässt. Das geht mit der Formel
V = π ∫ ( f(x)) )² dx,
wobei die Grenzen dieses bestimmten Intergrals zu berücksichtigen sind (die sich mit diesem Schreibprogramm schlecht schreiben lassen).
2) Der abzuziehende "Bohrkern" ist ein Zylinder. Ich finde deutlich einfacher, sein Volumen elementargeometrisch zu berechnen ( = Mittelstufen-Mathematik). Die Höhe des Zylinders ist leicht aus der Voraussetzung zu ersehen, die Berechnung von Schnittpunkten erübrigt sich.