Ist die Funktion f(x) = |x|\x Injektiv, Surjektiv oder sogar Bijektiv?
Hallo,
meine Frage steht oben. Wäre toll, wenn mir jemand die Frage beantworten und erklären könnte wieso das so ist. Die Betragstriche verwirren mich leider komplett… 😅
Danke schon mal!
3 Antworten
Gilt f: R -> R (wir weisen reellen Zahlen reelle Zahlen zu aka Schulmathematik), so wäre die Funktion nicht injektiv, nicht surjektiv und nicht bijektiv.
Was die Ziel- und Ausgangsmenge ist muss immer angegeben sein! Ich nehme einfach nur an, dass diese hier gleich sind.
Warum?Notations-Erklärung, wenn du sie nicht kennst:
"=>" bedeutet "impliziert"
"∧" bedeutet "und"
Injektiv
Injektiv ist die Funktion dann, wenn gilt x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂) (Auf deutsch: An jeder Stelle hat die Funktion einen unterschiedlichen Wert)
Ist das hier der Fall?
f(x) = x / |x| ∧ x ≠ 0
f(-1) = -1 ∧ f(-2) = -1 => f(-1) = f(-2)
=> nicht injektiv
Surjektiv
Surjektiv ist die Funktion dann, wenn jeden Element der Zielmenge (hier alle reellen Zahlen) aka das was deine Funktionswerte sein dürfen ein Element der Ausgangsmenge aka das was du einsetzen darfst zugeordnet wurde.
Ist das hier der Fall?
f(x) = x / |x| ∧ x ≠ 0
|f(x)| = |x / |x||
|f(x)| = |x| / ||x||
|f(x)| = |x| / |x|
|f(x)| = 1
=> der Betrag aller Funktionswerte ist 1,
aber nicht alle relle Zahlen haben den Betrag 1 (z.B. 2)
==> nicht surjektiv
(Du kannst das auch anders bestimmen, indem du f(x) = y setzt und nach x löst. Existiert nicht für alle y-Werte ein x, so ist die Funktion nicht surjektiv. Man sagt auch, dass das Bild (Fachwort für Menge aller Funktionswerte) gleich der Zielmenge ist.)
Bijektiv
Bijektiv ist eine Funktion dann, wenn sie injektiv und surjektiv (es muss beides gelsten) ist. Unsere Funktion ist wie gezeigt weder injektiv noch surjektiv, dementsprechend auch nicht bijektiv.
Bildlich würdest du es erkennen, wenn der Funktionsgraph ohne Lücken nur fällt oder nur wächst.
. Die Betragstriche verwirren mich leider komplett
Wie üblich bei Betragsstrichen macht man eine Fallunterscheidung
Fall 1:
Fall 2:
Skizze:
(Für x = 0 ist die Funktion nicht definiert).
Aus meiner Sicht ist sie surjektiv, wenn man davon ausgeht, dass die Zielmenge y>=0 ist.
siehe hier:
https://studyflix.de/mathematik/injektiv-bijektiv-surjektiv-1466