In welchen Punkten ist Funktion differenzierbar?
Guten Abend,
wir sollen bei Mathe aktuell zeigen in welchen Punkten die 2 Funktion f(x) = 1/x und g(x) = sqrt(x) differenzierbar sind. Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung wo ich da überhaupt anfangen soll. Online habe ich nur gefunden wie man ermitteln kann ob eine Funktion differenzierbar ist aber hier soll man ja herausfinden in welchen Punkten die Funktionen differenzierbar sind.
Danke schon mal im Vorraus für alle Antworten. :)
1 Antwort
f(x) = 1/x ist für x = 0 nicht differenzierbar, denn dort ist sie nicht definiert (ungerade Polstelle). Sonst ist sie überall differenzierbar.
g(x) = sqrt(x) ist für x < 0 nicht definiert, also auch nicht differenzierbar.
Die erste Ableitung ist g'(x) = 1/(2*sqrt(x)). Die ist für x = 0 auch nicht definiert. (Der Anstieg von g(x) ist dort unendlich groß.) Also ist g(x) nur für x > 0 differenzierbar.
Allgemein ist das nicht so einfach.
Aber sqrt(x) ist eine an der Diagonalen y = x gespiegelte Normalparabel. Bei der Normalparabel verläufe die Tangente bei x = 0, y = 0 waagerecht. Wenn man das jetzt spiegelt, verläuft sie genau senkrecht. Daher ist der Anstieg an dieser Stelle unendlich groß (oder unendlich klein). Da sqrt(x) für x >= 0 streng monoton steigend ist, ist der Anstieg unendlich groß.
Man sieht das auch in der grafischen Darstellung:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x%29
Es geht zunächst senkrecht nach oben, flacht dann aber ab.
vielen Dank, deine Antwort war sehr hilfreich.
Wie kann ich herausfinden wo eine Funktion einen unendlich großen Anstieg besitzt?