Ist eine Funktion f(x) an einer hebbaren Definitionslücke differenzierbar?
7 Antworten
Da vertrete ich eine ganz klare Meinung: NEIN.
Das sagt doch schon der Begriff "hebbare Definitionslücke" aus: es handelt sich um eine Definitionslücke. Also ist die Funktion an dieser Stelle überhaupt nicht definiert. Dann kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.
Was anderes ist es, ob die "erweiterte" (d.h. durch einen geeigneten Funktionswert "geschlossene") Funktion, ich nenne sie mal f*, differenzierbar an der (ehemaligen) Definitionslücke ist.
Das lässt sich so allgemein natürlich nicht beantworten, denn es hängt vom Einzelfall ab. Erst mal ist f* an dieser Stelle stetig (das sagt der Begriff hebbar aus). Mehr lässt sich nicht sagen.
Übrigens: Hat eine Funktion f an einer Stelle x0 eine Polstelle, kann sie dort nicht hebbar sein. Das schließt sich per Definitionem aus.
Oh was musste ich mir schon anhören: "Erbsenzähler" war noch die harmloseste Variante. Dabei bin ich doch nur ein kleiner Mathematiker, der eben versucht, präzise zu sein :-))
Dank für Deine Rückmeldung!
Ein Mathematiker, der nicht präzise ist, ist kein wahrer Mathematiker.
Nicht unbedingt: Sei g : R ⊇ Dom(g) —> R eine stetige Funktion mit mindestens einem nicht differenzierbaren Punkt. Bsp. g(x) = |x|. Sei x₀ im Inneren von Dom(g), wo g'(x₀) nicht definiert ist. Sei nun ƒ = g | Dom(g) \ {x₀}. Dann hat ƒ eine (im stetigen Sinne) hebbare Definitionslücke bei x₀, dies ist notwendigerweise gleich g(x₀), damit is diese Fortsetzung von ƒ in diesem Punkt genau wie g nicht differenzierbar.
Deine Antwort verwirrt mich auf den ersten Blick mehr, als dass sie meine Frage zu beantworten scheint. Was bedeutet "R ⊇ Dom(g)"?
g : R ⊇ Dom(g) —> R ist kurz für:
„g ist eine Funktion von einer Teilmenge von R nach R“
Also heisst das in deinem Beispiel g(x) = |x|, dass x selber bereits eine Teilmenge von |x| ist?
Überleg doch mal selber: Definitionslücke heisst, f ist an dieser Stelle nicht definiert. Heisst, f(x) existiert an dieser Stelle nicht. Wenn f(x) an dieser Stelle nicht existiert, dann existiert f'(x) an dieser Stelle erst recht nicht. Wenn die Ableitung nicht existiert, dann kann die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar sein. Denn sonst würde eine Differentiation an dieser Stelle lt Hauptsatz der AnaIysis ja die Ableitung liefern.
Genau darüber hab ich mir den Kopf zerkrümmelt, weshalb ich meine Frage letzten Endes ins Forum schmiss. Bekanntlich gibt sich ein wahrer Mathematiker mit noch so trivialen Definitionen nicht zufrieden. Jede Möglichkeit muss durchgedacht sein.
Danke aber für den "Denkanstoss".
Generell nein, da eine Funktion an einer hebbaren Definitionslücke nur stetig ist.
Nimmst du die Funktion f(x) = |x|x/x, hast du eine hebbare Definitionslücke bei x = 0, für f' gilt aber f'(x < 0) = -1, f'(x > 0) = 1, damit ist sie bei x = 0 nicht differenzierbar.
LG
Danke für deine Antwort. Bezüglich deines Beispiels der Betragsfunktion ist der Fall für mich sowieso klar, da offensichtlich unterschiedliche Steigungen in einem Punkt zusammentreffen.
Ausserdem kam ich erst wegen diesem "generell" zu meiner Fragestellung, in der ich mich implizit auf Funktionen der Form f(x) = g(x) * h(x) ohne Betrag von einer Funktion g(x) ≠ |k| bzw. h(x) ≠ |k| mit k ∈ ℝ beschränke. (Entschuldigung, ich habe vergessen, diese Bedingung in die Frage zu integrieren.)
Lässt sich denn meine Frage nicht ohne ein "generell" respektive nicht eindeutig beantworten?
Auch mit dieser Restriktion wird Differenzierbarkeit nicht immer garantiert. Bemerke, dass, wenn f(x) eine hebbare Definitionslücke a hat, dann entweder g(x) oder h(x) auch eine bei a hat, und wir sind wieder beim Anfang, also bringt es nichts, sich nur mit Funktionen der Form f = g h zu beschäftigen.
"Generell" lässt sich das nicht eindeutig beantworten, da Stetigkeit und Differenzierbarkeit erstmal zwei komplett unterschiedliche Dinge sind.
Hier ich habe ein viel besseres beispiel. Alle die mich kennen, wissen, was jetzt kommt.
Es gibt eine Funktion, die auf ganz |R definiert und dort auch stetig ist, aber in KEINEM Punkte differenzierbar. Ich meine die ===> Kochsche Schneeflockenkurve; ein ===> Fraktal. Ihre Definition ist der Art populär, dass du das schon in computerzeitschriften nachlesen kannst.
Wenn eine Kurve auf einem Intervall J differenzierbar ist mit ableitung f ' ( x ) > 0 , dann ist sue streng monoton wachsend. Die Bedingung ist also hinreichend. Ist sie auch notwendig? " Fast "
Sei y = f ( x ) streng monoton wachsend auf dem Intervall J . Dann ist sie auch ===> fast überall ( f.ü. ) differenzierbar mit Ableitung f ' ( x ) > 0.
Die Kochkurve ist aber NIRGENDS differenzierbar - wir hörten schon davon. D.h. sie ist nicht Stück weise monoton; auf keinem noch so kleinen Intervall verläuft die Kochkurve monoton.
Nichts für ungut, aber was hat das mit hebbaren Definitionslücken zu tun?
Trotzdem danke für deine Antwort, immerhin kannte ich die Kochkurve bislang nicht.
Wenn eine Funktion y = f ( x ) stetig ist in x0 , dann kannst du x0 aus dem Definitionsbereich " auspieksen "
Schau dir mal in ===> Topologie die Definition des ===> Häufungspunktes an; z.B. ein innerer Punkt einer Menge M bleibt nicht länger innerer Punkt, wenn du ihn auspiekst. Umgekehrt bleibt ein äußerer Punkt nicht länger äußerer Punkt, wenn du ihn in die Menge M herein nimmst.
Der Häufungspunkt x0 ist genau so listig definiert, dass es gerade keine Rolle spielt, ob x0 € M oder nicht.
Wenn f ( x ) stetig ist in x0 , ist es dort auch stetig ergänzbar, und x0 ist Häufungspunkt des Definitionsbereiches. Deshalb spielt es genau keine Rolle, ob du hier eine Definitionslücke hast.
Meines Wissens definierst du in jeder Definitionslücke x0
f ( x0 ) := lim f ( x )
x ===> x0
Da ist jedoch immer noch nichts hebbar, dafür aber verwirrend.
Yesss! Ich liebe ganz klare Meinungen und Antworten, sofern sie denn wirklich ganz klar sind! Danke dir für deine nicht zweideutige und treffende Antwort. Genau das wollte ich wissen :-)
Der letzte Absatz ist mir bereits bekannt, für den einen oder anderen hier auf gutefrage.net wird er aber sicherlich hilfreich sein.