In welchen Fällen ergibt die Determinante einer Matrix 0?
Ich sitze an einem Beispiel, wo ich ohne Berechnung argumentieren muss warum die Determinante einer gegebenen Matrix 0 ergibt.
Die Matrix aus dem Beispiel:
3 -4 4
1 -1 -2
2 -3 6
3 Antworten
Die Determinante gibt dir eine Art Volumenänderung eines Spates wieder. Ist die Determinante 0 so bedeutet das, dass jedes Volumen aus dem einen Vektorraum auf ein Volumen der Größe Null im anderen abgebildet wird.
Die geschieht, wenn die Spalten (die Bilder das Basisvektoren im ursprünglichen Vektorraum) der quadratischen Matrix nicht unabhängig sind, und so ein n-dimensionaler Spat auf einen niedrig-dimensionaleren Spat abgebildet wird.
Die Abbildung ist dann nicht mehr surjektiv und somit nicht mehr umkehrbar.
In deinem Fall müsstest du einfach zeigen, dass sich eine der 3 Spalten als Linearkombination der beiden anderen darstellen lässt.
Man sieht schnell, dass die erste Zeile gleich der Summe der zweiten und der dritten Zeile ist. Die Zeilen sind demnach nicht linear unabhängig, weshalb die Determinante 0 sein muss.
weil die Zeilen nicht linear unabhängig sind
Methode des scharfen Hinsehens :)
Aber ich bin davon ausgegangen, dass man die Determinante nicht berechnen darf, aber es erlaubt ist mit z.B. Gauss auf Stufenform zu bringen.
Wie kann man so etwas ohne Berechnung erkennen?