Ich verstehe den Zusammenhang von homogenen und inhomogenen LGS nicht?
Homogene lgs besitzen auf der rechten Seite ja nur nullen. Was ist aber die spezielle Lösung eines Inhomogenem Systems ? Und wie kommt man auf die oberen beiden Zusammenhänge (Differenz von x1 und x2).
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K
2 Antworten
Die Lösungen eines homogenen LGS bilden einen Vektorraum - wenn Du nun eine einzige Lösung des inhomogenen LGS findest, brauchst Du lediglich den Lösungsvektorraum des homogenen LGS um die Lösung des inhomogenen Systems zu verschieben, um alle Lösungen des inhomogenen Systems zu finden - die inhomogenen Lösungen bilden eine sogenannte Mitmenge, auf Englisch „Co-Set“…
ich frage mich nur, wie man auf diese 1 0 0 kommt. Wie finde ich die Lösung des inhomogenen Systems heraus?
Es wird in der Aufgabe auf das vorangegangene Beispiel verwiesen - das sehe ich aber nicht, daher kann ich Dir nicht sagen, woher der Vektor (1, 0, 0) kommt…
Jetzt ergibt es Sinn. Man benötigt ja immer ein inhomogenes System. Ich kann ja nicht einfach Zahlen ausdenken die auf der rechten Seite stehen.
Könntest du mir nur bitte noch erklären wie die ersten Zeilen zustande kommen.
,,Differenz aus x1 und x2 = homogene lösungsmenge
Ich habe ja gesagt: man addiert zu einer inhomogenen Lösung i den kompletten Vektorraum H der homogenen Lösungen; also ist die komplette Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung die Menge i + H. Wenn man also zwei inhomogene Lösungen i_1 = i + h_1 und i_2 = i + h_2 hat, dann ist i_1 - i_2 = i + h_1 - (i + h_2) = h_1 - h_2 ein Element aus H.
Ich verstehe es nicht so ganz.
die Lösungsmenge einer inhomogenen Systems ist immer : spezielle Lösung des inhomogenen Systems + gesamte vektorraum des homogenen Systems (also die Lösung des homogenen Systems)
die Differenz verstehe ich nun überhaupt nicht. Was wenn x1 größer als x2 ist. Wie soll es dann =0 ergeben.
Jede Lösung des inhomogenen Systems ist eine "spezielle Lösung", die zum Aufstellen der allgemeinen Lösung mit dem beschriebenen Ansatz verwendet werden kann. Auf den Ansatz mit der Differenz von zwei speziellen Lösungen kommt man wenn man weis was man beweisen will (nämlich die auf die Zeile folgende Aussage). Ich verstehe nicht was dir bei diesen Zusammenhängen Probleme bereitet.
Indem man mit Hilfe z.B. des Additionsverfahrens eine spezielle Lösung berechnet? Die Lösungstheorie erspart einem eine solche Berechnung nicht. Man kann aber die bereits vorhandene Lösungsmatrix des homogenen Systemes verwenden und die dortigen Manipulationen nur noch bei der rechten Seite nachholen.
Aber 1 0 0 kann doch nicht die spezielle Lösung sein. Das würde doch bedeuten das x1 = 1 ist. Wie kann x1= 1 sein, wenn
1x1 + 2x2 =0 sind
Beachte das in der ersten Zeile im INHOMOGNEN System x1 + 2x2 = 1, nicht = 0. Und damit löst x1 = 1, x2 = 0 diese erste Zeile. Es geht um eine spezielle Lösung des INHOMOGENEN Systems.
Super habe es verstanden!
Die imhomogene Menge ist also immer:
die Lösungsmenge der korrespondierenden homogenen Menge + die spezielle Lösung der inhomogenen Menge
Was ich jedoch nicht verstanden habe ist, wie man auf die erste und zweite Erklärung kommt. Was genau meinen die mit der Differenz von x1 und x2 und was hat das mit dem homogenen lgs zutun
Wieso ergibt a*x1 - a*x2 = 0
x1 kann doch auch größer als x2 sein. Bzw der koeffizient A kann doch unterschiedlich sein
In diesem Satz wird angenommen das sowohl x1 wie auch x2 Lösungen des inhomogenen Systems Ax = b sind. Dann ist also sowohl Ax1 = b wie auch Ax2 = b und damit Ax1 - Ax2 = b - b = 0. Es geht nicht um die Koeffizenten a_ij von A.
Das heißt in dem oberen Beispiel habe ich unendlich viele Lösungen für das homogene System. Demnach der Parameter alpha. Nun wird die homogene lösungsmenge um die inhomogene lösungsmenge (1 0 0) verschoben.