Ich habe eine Frage zu Mathe (Nr.15)?
und zwar ich habe schon angefangen, bin mir aber nicht so sicher.. und komm auch nicht so ganz weiter
also ich habe als HB:
A= x*y
und als NB:
y= -1/16x²+64
dann habe ich die NB in die HB eingesetzt
A= x* (-1/16x²+64)
= 1/16x³+64x
A´= -3/16x²+64
0= -3/16x²+64
x1=18,48
x2= -18,48
und dann in die zweite Ableitung einsetzen um den Hochpunkt zu ermitteln:
A"= -3/8* 18,48=-6,93<0 -> Max.
und was jetzt?? Muss ich das dann in die HB wieder einsetzen?? und was setze ich dann für y ein.. einfach die Funktion oder 144? bin verwirrt
....
4 Antworten
Hallo,
die Fläche, deren Maximum berechnet werden soll, ist A=(64-x)*(144-y) und nicht x*y.
Du sollst ja einen möglichst großen rechteckigen Teil der unbeschädigten Platte ausschneiden.
Da y=(-1/16)x²+64, kannst Du die Zielfunktion so formulieren:
A(x)=(64-x)*(144+(1/16)x²-64)=(64-x)*(80+(1/16)x²).
Hiervon mußt Du die Ableitung bilden und diese dann auf Null setzen.
Die Nullstellen setzt Du entweder in die zweite Ableitung ein, um zu prüfen, welche der beiden zum Maximum gehört (f''(x0)=<0) oder setzt sie in die Zielfunktion ein, um zu sehen, bei welcher der größere Wert herauskommt.
Du mußt aber auch die Ränder prüfen, nämlich x=0 und x=32 (Nullstelle der Parabel). Hier kann sich nämlich auch ein Maximum verstecken, das über die Ableitung nicht erfaßt wird. Bei x=0 ist die Restfläche 64*80, bei x=32 ist sie
32*144.
Die Nullstellen der ersten Ableitung zeigen lokale Maxima oder Minima der Restfläche für Punkte auf der Parabel.
Herzliche Grüße,
Willy
Das Maximum liegt bei x=0, es ist ein Randmaximum und nicht über die Ableitung erfaßbar. Die lokalen Extremwerte liegen bei x=80/3 und x=16.
ich habe als lokale Extremwerte x=26,666 und x=16 raus 😅
und woher weiß man, dass sich an den Rändern extrempunkte befinden? Sollte man das immer überprüfen?
Natürlich. Hast Du Dir die Zielfunktion mal angesehen? Das ist eine kubische Funktion, die vom lokalen Minimum bei x=16 aus nach links Richtung unendlich ansteigt. Links von der 16 werden die Werte also immer höher, es gibt aber keinen Gipfel mehr. Da Werte für x unter 0 sinnlos sind für die Aufgabe, liegt der höchste Wert im betrachteten Gebiet zwischen x=0 und x=32 bei x=0.
Das lokale Maximum bei x=80/3 liegt unter dem Wert, den Du bei x=0 erhältst.
und dann in die zweite Ableitung einsetzen um den Hochpunkt zu ermitteln:
Musst du doch gar nicht. Der x-Wert stimmt,
du setzt ihn in die Parabelgleichung ein, um y zu bestimmen, fertig.
y= -1/16* 18,48²+64 = 42,6556
144-42,6556= 101,3444
ist 101 realistisch? weil dort ist die Scheibe ja gar nicht abgebrochen..
also ich dachte man soll das in die zweite Ableitung einsetzen um zu schauen ob x1 oder x2 ein maximum ist 😅
st 101 realistisch? weil dort ist die Scheibe ja gar nicht abgebrochen..
Klar. Das Rechteck soll ja im heilen Bereich liegen.
ah okay danke. man muss nicht den flächeninhalt berechnen oder? es reichen einfach die Seitenlängen?
Hallo,
hier hast Du den Graphen der Zielfunktion, der Dir zu jedem x zwischen 0 und 32 die dazugehörige Fläche des ausgeschnittenen Glases zeigt. Ab x=32 ist die Scheibe heil.
Du siehst, daß der Wert bei x=0 im Bereich höher als das Maximum bei x=26 2/3 ist.
Willy
okay danke. A(0)= 5120. A(32)=4608. Wie lang sie die Seiten? Und muss man noch die Fläche berechnen?
Die Zielfunktion lautet A(x)=(64-x)*(80+x²/16).
Die Längen sind x und 144-f(x) mit f(x)=-x²/16+64
Für x=0 bekommst Du eine Breite von 64 cm und eine Höhe von 144-64=80 cm.
okay und was passiert mit 5120 (globale Max.)?
Was soll damit passieren? Das ist die Fläche des größten Rechtecks, das Du aus dem Glas ausschneiden kannst.
f(x) = -1/16*x² + 64
.
die x-Koordinate hast du
die Breite der Platte ist
64-18.48
braucht man noch die Höhe
die ist
144 - f(18.48)
ich hab 144- 42,66 gerechnet und da kommt 101, 3444 raus.. aber das kann doch nicht sein oder :/ die platte auf dem Bild ist dort nicht abgebrochen
Richtig ! ........wie ich aus der antwort von Willy1729 erfahre , ist dein Ansatz falsch , daher passt das.
ich habe x in die Gleichung eingesetzt, und hab da 42,66 raus bekommen.. kann das stimmen?
144- 42,66=101,34
und 64-18,48= 45,52
und muss ich jetzt 101 und 45 in die Formel A= x*y einsetzen?
ich habe meine frage ergänzt.. sind die Ergebnisse realistisch? also ich hatte davor nämlich komplett andere Lösungen raus 😅