Ich habe eine Frage an die Mathematiker hier?
Man hat eine dreistellige Zahl, ausgebommen sind die Zahlen, bei denen die erste und die dritte Ziffer gleich sind. Also 303, 404 etc. zählen nicht. Wenn man von der Zahl die umgedrehte Zahl subtrahiert und dass immr wieder macht (wenn man ins negative rutscht, dann addiert man), dann kommt man immer irgendwann auf 99 oder -99. Bei zweistelligen Zahlen auf 9/-9. Davor kommt oft die 495. Warum ist das so?
Beispiel: 835-538=297
297-792=-495
-495+594=99
Vielen Dank für die Antworten. Die muss ich erst mal verstehen, aber das kriege ich hin😊
4 Antworten
Hallo,
eine beliebige 3-stellige Zahl N mit der Eigenschaft, dass ihr Hunderter und ihr Einer verschieden sind, kann folgendermaßen dargestellt werden:
N = 1•a + 10•b + 100•c , mit a ≠ c und a,b,c ∈ {0,1,2,3,...,8,9}
Wir subtrahieren nun von N die "umgedrehte" Zahl - nennen wir sie U(N):
U(N) := c + 10b + 100a , wir bilden also
N1:= N - U(N) = a + 10b + 100c - (c + 10b + 100a) =
a + 10b + 100c - c - 10b - 100a = a - 100a + 10b - 10b + 100c - c =
-99a + 99c = 99(c - a)
Wir sehen, das Ergebnis ist ein Vielfaches von 99 .
Da laut Voraussetzung a ≠ c , ist c - a ≠ 0 .
Ist c - a gleich 1 oder -1, sind wir fertig.
Notieren wir mal die ersten 10 Vielfachen von 99:
99 , 198 , 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990
1) Wir sehen, dass diese Vielfachen von 99 die Bedingung erfüllen, dass ihr Hunderter und Einer verschieden sind.
( 99 kann man als 099 sehen, d.h. 99 = 1•9 + 10•9 + 100•0 )
2) Weiter stellt man fest, dass jede dieser zehn Zahlen wieder ein Vielfaches von 99 ist, wenn man ihre Ziffern in umgekehrter Reihenfolge notiert.
Beispiel: U(198) = 891 , U(396) = 693 , usw.
Ist c - a ≠ 1 und c - a ≠ - 1 , können wir wegen 1) (Hunderter ≠ Einer) auf N1 wieder die gleiche Prozedur anwenden.
N1 schreiben wir wieder in folgender Form:
N1 = 1•a' + 10•b' + 100•c' , mit a' ≠ c' und a',b',c' ∈ {0,1,2,3,...,8,9} , und bilden
N2:= N1 - U(N1) = 1•a' + 10•b' + 100•c' - (1•a' + 10•b' + 100•c') = ... = 99(c' - a').
Ist c' - a' = 1 oder c' - a' = -1, sind wir fertig.
Ansonsten wiederholen wir die Prozedur... usw.
Irgendwann geschieht es, dass Ni und U(Ni) benachbarte Vielfache von 99 sind, d.h.
Ni = k•99 und U(Ni) = (k-1)•99 , oder U(Ni) = (k+1)•99 , k ∈ ℕ .
Bildet man ihre Differenz, so erhält man -99 oder +99.
Mir ist nur noch nicht klar, warum man irgendwann auf zwei benachbarte Vielfache von 99 stößt. Wenn man weiter darüber nachdenkt, kann man das sicher auch zeigen.
Gruß
Die Lösung liegt darin, dass es für so eine 3 stellige Zahl 100 Möglichkeiten gibt. Bsp. Wir haben 835(wie im obigen Bsp). Wenn wir nur die erste und die letzte Ziffer ändern gibt es 100 verschiedene Zahlen, die herauskommen können (835,935,135,134,usw...) die Ziffer die getauscht werden kann ist zwischen 0-10. Das bedeutet wir können zweimal jeweils 2 Zahlen zwischen 0-10 aussuchen. Es gibt also 100 verschiedene Möglichkeiten, die Rechnung dahinter ist 10^2. 10^2 ist 100. Die Sache ist aber, dass wir schon eine Lösung von den Hundert haben, nämlich die 835 (also das Bsp, dass schon dasteht), dass heißt man muss von den 100 Möglichkeiten eine Lösung abziehen, weil wir sie ja schon haben. Also kommt heraus 100-1=99. Mit deiner Rechnung machst du nichts anderes als zu berechnen wie viele andere Möglichkeiten es noch gibt und zwar sind das bei einer 3stelligen Zahl, wo man nur 2 Ziffern Wechseln kann, 99 Möglichkeiten.
. Diese Zahl nennt sich
https://de.wikipedia.org/wiki/Kaprekar-Konstante#Wissenswertes
im Artikel wird jedoch nicht erklärt , warum das so ist.
eine Erläuterung hier (leider auf englisch ) und nur für die 4-stellige Konstante.
*lol* Ich kann mir gerade mal die Geburtstage meiner Familie und die Pin meiner Bankkarte merken. Mein armes Gehirn ist sehr dankbar, dass es Datenbanken und Bücher gibt, wo man Sachen nachschlagen kann. :)
Irgendwie erinnert mich das stark an den Euklidischen algorithmus zum Bestimmen des ggT, dort muss man adoch auch immer das kleinere vom größeren abziehen :-)
mal überlegen:
sei abc eine zahl mit a>c.
dann ist
abc-cba zu bestimmen.
das ist ausgeschrieben:
100a+10b+c-100c-10b-a
=99a-99c=99(a-c)
=100(a-c)+10*0-1(a-c)
dann ist a-c eine positive zahl, daher ist 100*(a-c) eben eine hunderterzahl wie 100,200,etc. bis 900 und entsprechend 1(a-c) eine ziffer, die der ersten ziffer der hudnerterzahl entspricht.
kurz gesagt, kommt da dann sowas wie 300-3=297 raus.
oder wenn man anch der formel oben geht, direkt ein vielfaches von 99 raus.
Eine regel besagt dass eine zahl dann durch 9 teilbar ist wenn ihre quersumme durch 9 teilbar ist.
heißt:
das ergebnis unseres zahl-umgekehrte zahl ist durch 99 teilbar.
da 99 ein vielfaches von 9 ist, ist sie auch durch 9 teilbar.
und daher ihre quersumme ein vielfaches von 9.
Wäre im übrigen stattdessen a <c, dann käme oben eben ein negatives vielfaches von 99 raus und das endresultat (quersumme der differenz durch 9 teilbar) wäre dasselbe.
Desweiteren kannst du dir nun die hand voll möglichen lösungen angucken:
a und c sind ziffern, also kann a-c nur eine ziffer ziwschen 1 und 9 ergeben.
1*99=99 sind wir schon am ziel, gibts nichts zu überlegen.
2*99=198
rehcnen wirs durch:
sei abc=198
dann sit abc-cba=198-891=1*(100-1)+9*(10-10)+8*(1-100)
=1*99-8*99
=-7*99
=(a-c)*99
da kommt dann wieder eine 3stellige zahl raus, bei der in der mitte eine 9 steht und die hunderter und die einerstelle zusammen 9 ergeben.
das geht so lange bis irgendwann deine +-99 oder sowas rauskommen.
ich meine, rein logisch betrachtet, kann in jedem schritt ja nur eine zahl der form k*99 rauskommen (mit -9<=k<=9)
igendwann wirst du auch mal -1*99 oder +1*99 erwischen :-)
im übrigen kann man sogar noch einen schritt weiter gehen:
wir wissen wenn wir eine zahl a9c haben, dass wir nach der umformung eine zahl (a-c)*99 erhalten.
wir wissen aber auch wegen der teilbarkeit durch 9, dass a+c=9 gilt, also gilt dass nach der umformung die zahl
(a-c)*99=(9-2c)*99 rauskommt.
heißt wenn du eine zahl a9c hast und darauf den prozess anwendest, kommt (9-2c)*99 raus.
weil 1<=c<=9, gilt
2c=2,4,6,8,10,12,14,16 oder 18
und damit
9-2c=7,5,3,1,-1,-3,-5,-7 oder -9
+-1*99 ergibt eben +-99 und
+-5*99=+-495
insofern bleiben gar nicht mal so viele ziffern üblich, die dir nicht shcon das gewünschte endergebnis liefern würden :-)
und wenn nicht, eben noch ein paar mal den algorithmus anwenden,d ann kommt schon irgendwann +-99 oder sor aus :-)
Interessant, kannte ich nicht. :)