Hohe zahlen Modulo schriftlich rechnen geht das?
Beispiel: 261824 Modulo 8
oder 828732 Modulo 12
6 Antworten
Ja, das geht sogar ziemlich einfach.
Erstmal ist 1000 modulo 8 = 0, da 8 * 125 = 1000 ist. Damit sind nur die letzten drei Stellen wichtig. 800 ist offenbar durch 8 teilbar, genauso wie 24, also ist 261824 modulo 8 = 0.
Modulo 12 ist etwas schwieriger. 100 modulo 12 ist 4, 1000 modulo 12 ist 4, .. also ist 828732 modulo 12 = (8 * 4 + 2 * 4 + 8 * 4 + 7 * 4 + 32) modulo 12 = 132 modulo 12 = 0.
Naja, wie gesagt - man kann das bei den letzten drei Ziffern schneller sehen als rechnen.
ok. ( du meinst bei den letzten 2 Ziffern weil du hast bei den letzten 2 es gesehen) ok danke ich rechne jetzt Übungsaufgaben damit ich das blitzschnell kann mit deinem trick
Fehler, 3 * 4 + 3 * 2 = ist 20 und nicht 32
AHSOOOOOOOOOO JETZT HAB ICH DAS VERSTANDEN OMG bin ich dumm, AHSOOOOOOO ok danke JAJA meine Fehler, mein Fehler gewesen 🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤦🏻♂️🤚🏻🤚🏻🤚🏻🤚🏻🤚🏻🤚🏻🤚🏻🤚🏻🤚🏻
Noch ne letzte Frage, 123456 Modulo 7,
1000 modulo 7 ist = 6
100 modulo 7 ist = 2
wie würdest du jetzt diese Form anfangen also
(1* 6 + 2*... usw)?
10 mod 7 = 3
100 mod 6 = 3 * 3 mod 7 = 2
1000 mod 7 = 2 * 3 mod 7 = 6
10000 mod 7 = 6 * 3 mod 7 = 4
10^5 mod 7 = 4 * 3 mod 7 = 5
Damit
123456 mod 7
= 1 * 10^5 + 2 * 10^4 + 3 * 1000 + 4 * 100 + 5 * 10 + 6 mod 7
= 1 * 5 + 2 * 4 + 3 * 6 + 4 * 2 + 5 * 3 + 6 mod 7
= 60 mod 7
= 4
Also, allgemein geht das so. Zu berechnen n modulo m, n,m\in N. Dann berechne
r(k) = 10^k modulo m
Es gilt r(k) < m.
r(1) kann man recht einfach berechnen. Dann berechne rekursiv r(k+1) = 10 * r(k) modulo m.
(Hinweis: Es gibt höchstens m verschiedene Reste, d.h. r ist zyklisch. Wenn r(k0) = 0 ist, ist r(k) = 0 für alle k>=k0.)
Die Darstellung der Zahl n im Zehnersystem ist n = \sum_{i=0}^N n_i * 10^i mit einem N>=0, n_i\in{0...9}, n_N!=0, und n_i = 0 für i>N.
Dann ist modulo m
n = \sum n_i * 10^I = \sum n_i * r(i)
Und das kann man auch wieder recht effizient berechnen, da die Zahlen nie gross werden.
wowowow du scheinst schlau zu sein wie machst du das ich muss das auch lernen universell für alle zahlen
Naja, das ist nicht so richtig schwierig, aber ein paar Grundlagen fehlen dir dazu.
Cool fand ich, wie man bei einer großen Zahl die Teilbarkeit durch 11 feststellen kann: Man bildet die Quersumme der Ziffern an den ungeraden Positionen und zieht davon die Quersumme der Ziffern an den geraden Positionen ab, z.B.
8953779934
Quersumme an ungeraden Positionen: 8+5+7+9+3 = 32
Quersumme an geraden Positionen: 9+3+7+9+4 = 32
Differenz: 32 - 32 = 0
Da dieser Wert Null ist, ist die Ausgangszahl durch 11 teilbar. Wäre da irgendwas anderes 'rausgekommen, wäre sie eben nicht durch 11 teilbar gewesen.
echt=??? wow cool kann man das bei jedem Beispiel anwenden?
Bei jeder ganzen Zahl, ja. Die Methode kennen nicht so viele! ;-)
moment mal aber wenn 0 rauskommt heißt das ja bloß das sie durch 11 teilbar ist, wie wäre es wenn man be oder selben zahl überprüfen will ob sie durch 12,13, 8, 7 , 6 teilbar ist?
Dann siehe oben in meiner Antwort. Da steht, wie man "modulo 12" rechnet.
Naja, man könnte eine schriftliche Division (mit Rest) durchführen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division
Bei 261824 modulo 8 beispielsweise...
261824 : 8 = 32628 Rest: 0
-24
---
21
-16
---
58
-56
---
22
-16
---
64
-64
---
0
Wegen Rest 0 ist also 261824 mod 8 = 0.
Bei 828732 modulo 12 beispielsweise...
828732 : 12 = 69061 Rest: 0
-72
---
108
-108
----
07
- 0
---
73
-72
---
12
-12
---
0
Wegen Rest 0 ist also 828732 mod 12 = 0.
Bei 61952 modulo 11 beispielsweise...
61956 : 11 = 5632 Rest: 4
-55
---
69
-66
---
35
-33
---
26
-22
---
4
Wegen Rest 4 ist also 61956 mod 11 = 4.
Schau dir mal Restklassen an, am besten bei YouTube
Du kannst nachdenken und es so wie ShimaG machen. Bei Zweierpotenzen und Fünferpotenzen kann man sich auf die letzten Stellen beschränken (2 Stellen bei 2² und 5², 3 Stellen bei 2³ und 5³ usw.)
Oder machst ganz stumpf eine schriftliche Division, von der dich nur das letzte Ergebnis interessiert:
828732 : 12 = 69061 Rest 0
72
108
108
7
0
73
72
12
12
0
die einfachste methode ist normales dezimales teilen
828732 / 12 = 69061 ...........Rest 0
828734 / 12 = 69061,so und so .........nun
828734 - ( 69061 * 12 ) = 2 .........also modulo 2
Das ist nicht die einfachste Methode. Das ist so ziemlich die aufwändigste.
Das geht recht fix.
Beispiel 8:
10 modulo 8 = 2
100 modulo 8 = 10 * 10 modulo 8 = 2 * 2 modulo 8 = 4
1000 modulo 8 = 10 * 100 modulo 8 = 2 * 4 modulo 8 =0
Damit sind alle höheren Potenzen von 10 = 0 modulo 8. Dass die letzten drei Stellen durch 8 teilbar sind, sieht man schnell und ohne Rechnen.
Beispiel 12:
10 modulo 12 = 10
100 modulo 12 = (8 * 12 + 4) modulo 12 = 4
1000 modulo 12 = 10 * 100 modulo 12 = 10 * 4 modulo 12 = 4
Damit sind auch alle höheren Potenzen von 10 = 4 modulo 12. Rest der Rechnung siehe oben.
Damit kann ich ganz einfach die Reste auch sehr großer Zahlen bei Division durch 8 bzw. 12 berechnen, auch ohne Taschenrechner.
Ja, bei 133 ist das was umfänglicher, aber dennoch immer recht fix. Vor allem kann man das von mir vorgeschlagene Verfahren ziemlich einfach auf einem Rechner implementieren - es werden keine Rechenperationen großer Zahlen benötigt.
und warum hast du am ende bloß +32 also die letzten 2 Ziffern soll man zusammen nehmen?