Große Zahlen modulo rechnen ohne Taschenrechner?

Weiß jemand wie ich bei diesem Ausdruck ohne Taschenrechner weiterkomme ? 20^12 = (5*4)^12 und liefert somit als Vielfaches von 5 den Rest 0. Ich komme aber beim Ausdruck 3*19^12 nicht weiter. Hat jemand eine Idee ?

Answer 1

[mihisu]

Bedenke, dass 20 ≡ 0 mod 5 (<-- Das hast du bereits erkannt.) und 19 ≡ -1 mod 5 ist. Das lässt sich dann leichter potenzieren. (-1)^12 solltest du im Gegensatz zu 19^12 auch ohne Taschenrechner hinbekommen.

$20^{12}-3\cdot19^{12}\equiv0^{12}-3\cdot\left(-1\right)^{12}\equiv0-3\cdot1\equiv-3\equiv2\ \text{ }\ \text{mod}\ 5$

Comments

[Kaisarion]

Danke! Mit diesem "Trick" kann ich auch die anderen Aufgaben leichter angehen