Grenzwerte berechnen?

Hey, kann mir hier jemand weiterhelfen?
Ich verstehe die Aufgabe leider nicht.

Danke im Voraus :)

Answer 1

[nobytree2]

Wenn Du einen Punkt auf dem Graphen nimmst, dann kannst Du ein Rechteck bilden, dieser Punkt ist der eine Eckpunkt, der Ursprung (0|0) ist der diagonal gegenüber liegende Eckpunkt. Die Fläche vom Rechteck ist u* f(u).

Wenn man nun 1/x nimmt, dann hat das Rechteck die Fläche u*f(u) = u * 1/u = 1. Das gilt offenbar für alle u. Jetzt kann man unendlich nicht einsetzen, aber die Zahl u kann noch so groß sein, man bleibt immer bei Fläche 1.

Wenn wir hingegen 1/x² nehmen, sieht es schon anders aus u*f(u) = u * 1/u² = 1/u. Je größer das u wird, desto kleiner wird die Fläche. Und wenn wir uns überlegen, was passiert, wenn wir x gegen Unendlich laufen lassen, bleibt nichts mehr übrig. also

$\lim_{u\to\infty}\frac{1}{u}\to0$ Ob wir hier im übrigen x oder u als Variable nehmen, ist völlig gleichgültig.

e hoch -x: Fläche ist:

$u\cdot f\left(u\right):\ u\cdot e^{-u}$ Wie verhält sich das, wenn u gegen unendlich geht? u zieht nach oben, e hoch -u nach unten. Wer zieht stärker? sieht man schnell, wenn wir es anders darstellen:

$\lim_{u\to\infty}ue^{-u}=\frac{u}{e^u}$ Exponentiell wächst schneller und da e > 1, wächst der Nenner schneller als der Zähler und das ganze geht gegen 0.

Und nun das Letzte:

$Fläche\left(u\right)=u\cdot\frac{u+2}{u^2+3}=\frac{u^2+2u}{u^2+3}$

Was passiert nun, wenn u gegen unendlich läuft?

$\lim_{u\to\infty}\frac{u^2+2u}{u^2+3}=\frac{1+\frac{2}{u}}{1+\frac{3}{u^2}}$ Es gilt:

$\forall k\in\mathbb{R},\ h\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}:\lim_{u\to\infty}\frac{k}{u^h}\to0$ In Worten: Wenn der Zähler konstant ist und der Nenner gegen unendlich läuft, wird der Bruch 0. Wenn der Nenner auch noch eine Zahl größer 1 als Exponent hat, geht es noch schneller gegen 0. Das heißt, wenn u gegen unendlich läuft, werden die beiden Brüche oben in der Fläche 0 und wir haben nur noch 1/1 = 1.