Grenzwert einer Folge?

Hallo zusammen,

ich scheitere mal wieder an den Grundlagen. Hoffe, mir kann jemand auf die Sprünge helfen.

Gesucht ist der Grenzwert der Folge: $a\left(n\right)\ :=\ \sqrt{4n^2+n}-2n$

Ich habe mit der 3. bin. Formel erweitert und bin bei $\frac{n}{\sqrt{4n^2+n}+2n}$ rausgekommen.

Das Ergebnis soll 1/4 sein, es muss also n weggekürzt werden. Wie gehe ich vor, um aus dem Nenner n auszuklammern?

Vielen Dank!

Answer 1

[Tommentator]

Du hast richtig gerechnet.
Jetzt zieh aus der Wurzel eine n^2 heraus ->
Nenner: n sqrt(4+1/n) + 2n <>n(sqrt(4+1/n)+2), Zähler:n
Aus Nenner udn Zähler n kürzen.
Es bleibt 1 / [ sqrt(4+1/n)+2]. Für n->∞ geht 1/n->0. Es bleibt 1/(sqrt(4)+2)=1/4

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[sam51]

Ah super. War für mich nicht intuitiv, die 4 und die 1/n getrennt auszuwerten, da diese unter der selben Wurzel stehen. Danke!

Answer 2

[GuteAntwort2021]

$\frac{n}{\sqrt{4n^2\ +\ n}\ +\ 2n}$ $=\frac{n}{n\left(\sqrt{4\ +\ \frac{1}{n}}\ +\ 2\right)}$ $=\ \frac{1}{2\ +\ 2\ +\ \frac{1}{n}}$ $=\ \frac{1}{4\ +\ 0}$ $=\ \frac{1}{4}$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Comments

[Halbrecht]

dritte ZEILE : wieso taucht noch 1/n auf und durch welche Umformung ?

[GuteAntwort2021]

@Halbrecht

Hmm? n/(n(...)) = 1/(1(...)) = 1/...

[Tommentator]

*Räusper*
Schüler sind hier mglw. verwirrt, wenn nicht lim n->∞ bei den Umformungen genutzt wird. Auch kann man nicht das Argument der Wurzel so einfach herausziehen. Das "=" ist so einfach falsch. Man muss die Grenzwertbetrachtung lim n->∞ für 1/n tätigen, dann verschwindet dieser Term und dann kann man die Wurzel von 4 ziehen...

[sam51]

Was ich da noch nicht ganz verstehe, ist, wie das 1/n aus der Wurzel rauskommt. Wird 1/n an dieser Stelle bereits schlicht als "0" gehandhabt?

[GuteAntwort2021]

@sam51

Wenn n gegen unendlich geht, dann ist 1/n = 1/∞ und 1 durch eine unendlich große Zahl ist unendlich klein, dass du sie praktisch als 0 ansehen kannst.

Answer 3

[ChrisGE1267]

Sqrt(4n^2 + n) + 2n = n*(Sqrt(4 + 1/n) + 2), dann kannst Du n kürzen und n gegen unendlich gehen lassen. Den Limes kannst Du dabei unter die Wurzel ziehen, da die Wurzelfunktion stetig ist…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dr. rer. nat. Analytische & Algebraische Zahlentheorie