Gleichung des Kreises,mit dem Radius r, die die Gerade g im Punkt berührt! HIilfe//

Hallo Leute, ich brauche dringend eure Hilfe, da ich morgen meine Mathe Arbeit schreib, übe ich gerade und komme bei diese eine Nummer nicht ganz klar. Ich bitte dringend um Hilfe :// -- Ermittle Gleichung des Kreises, mit dem Radius r, die die Gerade g im Punkt P € g berühren r = 10, g: -3x + 4y = 28 P (p1/4)

Danke im Vorraus :)

3 Antworten

Vom Beitragsersteller als hilfreich ausgezeichnet

psychironiker

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

06.06.2013, 13:46

Für die Arbeit nützt es wohl nicht mehr so viel (...warum stand das hier nicht zwei Tage früher?) Aber vielleicht für deren Verbesserung.

A. Zuerst rechnest du die x-Koordinate p1 des Berührpunkts aus, indem du die y-Koordinate in die Geradengleichung einsetzt.

B. (Eine Skizze ist sinvoll. ) g ist eine Tangente an den gesuchten Kreis . Du weißt aus der Elementargeometrie, dass der (P enthaltende) Berührradius des gesuchten Kreises senkrecht auf g steht. Also gilt umgekehrt: Der Mittelpunkt von k liegt auf einer Senkrechten h zu g durch P und ist r = 10 von P entfernt. Also liegt der Mttelpunkt auf einem Kreis k° um P mit Radius r

k° schneidet h aber zweimal, denn h enthält einen Durchmesser von k°. Es gibt "den" gesuchten Kreis also nicht, sondern zwei Lösungen k mit Mittelpunkt M und k' mit Mittelpunkt M' (die durch Spiegelung an g auseinander hervorgehen).

C. Rechenweg ohne Vektorrechnung:

Um die Steigung mg von g zu bestimmen, lässt sich g auf die Form y = mx +b bringen.

(Alternative: Ermittele durch Einsetzen von q1 = 0 in g neben P(p1|p2) einen weiteren Punkt Q(q1|q2) von g und berechne m mit mg = (p2 - q2) / (p1 - q1).

Das Produkt der aufeinander senkrecht stehender Geraden ist -1, also ist für die Steigung mh von h: mg * mh = -1 -> mh = -1/mg.

Da du mh und den Punkt P von h kennst, kannst du die Punktsteigungsform:

h : y = mh(x -p1) + p2: (1)

direkt angeben.

Die Koordinatengleichung des Kreises k° ist leicht aufzustellen. Einsetzen der r.S. von (1) für y in die Gleichung von k° ergibt eine quadratische Gleichung, deren Lösungen x, x' die x-Koordinaten von M, M' sind. Einsetzen in (1) ergibt y, y'; Damit lassen sich die gesuchte Gleichungen von k, k' erstellen.

D. Rechenweg mit Vektorrechnung (praktischer):

Aus der angegebenen Koordinatenform vom g ist der Normalenvektor (-3 4) abzulesen. Dieser ist Richtungsvektor (der Parameterform) von h. Einsetzen in die (vektorielle) Kreisgleichung von k° ergibt nach Auflösen der quadratische Gleichung die Parameter µ, µ' der Kreismittelpunkte M, M'; daraus direkt die vektorielle Kreisgleichung von k, k'.

E. Lösungen:

p1 = -4,