Gleichsetzungsverfahren?
Hallo, ich habe hier eine Aufgabe und ich weiß nicht wirklich, wie ich die lösen soll. Kann mir von euch bitte jemand helfen?
Frage: In einer Jugendherberge gibt es Dreibett-und Fünfbettzimmer. Es sind insgesamt 20 Zimmer, in denen 80 Jugendliche untergebracht werden können.
Das was ich bis jetzt weiß:
x= Anzahl der 3-Bettzimmer
y= Anzahl der 5-Bettzimmer
Wahrscheinlich wäre das dann:
| x+y=20. |
| 3x+5y=80|
Weiter weiß ich nicht
3 Antworten
Das Gleichsetzungsverfahren erwartet, dass bei beiden Gleichungen mindestens eine Seite absolut identisch ist.
Du hast jetzt für dich die beiden Gleichungen:
x + y = 20
3x + 5y = 80
gefunden. Was müsstest du tun, damit zwei Seiten beider Gleichungen identisch sind? Naja, du könntest zum Beispiel die erste Gleichung mit 3 multiplizieren:
x + y = 20 | * 3
3x + 3y = 60
Dann hast du bei beiden Gleichungen schon mal 3x auf einer Seite stehen. Musst du nur noch die y auf die andere Seite bekommen:
3x + 5y = 80 | - 5y
3x = 80 - 5y
...................
3x + 3y = 60 | - 3y
3x = 60 - 3y
Und schon steht bei beiden Gleichungen 3x = ...
Diese ... müssen also gleich groß sein, was bedeutet wir können sie gleichsetzen:
80 - 5y = 60 - 3y | + 5y
80 = 60 + 2y | - 60
20 = 2y | : 2
10 = y
Jetzt in einer der ursprünglichen Gleichungen das y mit 10 ersetzen und nach x auflösen:
3x + 5y = 80
3x + 5*10 = 80
3x + 50 = 80 | - 50
3x = 30 | : 3
x = 10
Sowohl x als auch y sind also 10.
Alternativ könntest du natürlich auch die erste Gleichung mit 5 multiplizieren:
x + y = 20 | * 5
5x + 5y = 20
...............
3x + 5y = 80
und beide dann zu 5y = ... umformen.
Last but not least kannst du auch die rechte Seite bearbeiten und beide zu zum Beispiel 80 machen:
x + y = 20 | * 4
4x + 4y = 80
Jetzt steht bei beiden ... = 80 und das können wir auch gleichsetzen:
4x + 4y = 80
3x + 5y = 80
..................
4x + 4y = 3x + 5y | - 3x
x + 4y = 5y | - 4y
x = y
Dadurch wissen wir dann auch, dass x und y gleich groß sind. Wir können dann also einfach den Buchstaben y mit x ersetzen (oder x mit y):
4x + 4y = 80
4x + 4x = 80
8x = 80 | : 8
x = 10
Und da x = y ist, können wir auch sagen y = 10.
.................
Wie du siehst, vielen Wege nach Rom. Ich hoffe, du hast verstanden wie man das Gleichsetzungsverfahren anwenden kann um ein LGS zu lösen.
Viel Erfolg.
Du schreibst eine der Gleichungen so um, dass dort entweder
x = … oder
y = … steht.
Dann setzt du in der anderen Gleichung überall, wo der vorher freigestellte Buchstabe steht, den anderen Teil ein.
Wenn zB.
x + y = 2 und 3x - 2y = 7
Dann:
(1) Freistellen:
x + y = 2
x = 2 - y
(2) Einsetzen (und die Klammern nicht vergessen!):
3(2-y) - 2y = 7
6 - 3y - 2y = 7
6 - 5y = 7
-5y = 1
5y = -1
y = -0,2
Weiter weiß ich nicht
Da weißt Du ja schon eine ganze Menge. Wo ist denn jetzt noch das Problem?
Man könnte z.B. die erste Gleichung mit 3 multiplizieren
3x + 3y = 60
und von der zweiten Gleichung
3x + 5y = 80
subtrahieren
2y = 20
also y = 10.
Dann folgt aus x + y = 20 sofort x = 10.
Die Probe bestätigt die Richtigkeit der Lösung.
(eine doch recht emotional verfärbte Meinung von mir)
Und da ich die sinnlose Verwendung von Formeln wirklich hasse, ein alternativer Ansatz:
Nehmen wir an, es gäbe nur Dreibett-Zimmer. Dann könnten wir in den 20 Zimmern nur 60 Leute unterbringen. Dann sind 20 Leute übrig. Um die unterzubringen, müssten wir 10 Zimmer aus Dreibett- in Fünfbett-Zimmer umwandeln. Dann hätten wir 20 Plätze mehr. Und dann haben wir je 10 Dreibett- und Fünfbett-Zimmer.