Gebrochen rationale Funktion mit parameter?
Hallo. 😄D
Wie komme ich nun von dem Ansatz auf die Nullstelle des Zähler. Und dann auf die schräge Asymptote?
Aufgabe
Lösung von Lehrerin
Danke
2 Antworten
Wie komme ich nun von dem Ansatz auf die Nullstelle des Zähler.
Verstehe nicht ganz den Hintergrund dieser Frage. Kann jetzt nur rumvermuten.
Eine besonders gefährliche Stellle bei gebrochen rationalen Funktionen liegt immer dann vor, wenn das ganze zu einem Ausdruck 0/0 führt, denn das kann alles sein. Was es ist, kann man nur durch eine Grenzwertbetrachtung rauskriegen. Am gefährlichsten wird es, wenn 0/0 zu einer Definitionslücke führt.
Um zu überprüfen, ob und wann der Zähler zu 0 wird setzen wir die Stelle der Asymptote mit x = -t/3 in den Zähler ein:
30(-t/3)^2 + 10t(-t/3) + 3t = 30t^2/9 - 10t/3 - 3t = 30t^2/9 - 30t/9 - 3t = -3t = 0
-3t = 0
t = 0
Bei t = 0 liegt also die gefährliche Stelle. Nun gucken wir die Ursprungsfunktion nochmal für t = 0 an:
(30x^2 + 10x * 0 + 3*0) / 15(3x + 0) = 30x^2 / 45 x = 2/3x
....und wir sehen, für t = 0 erhalten wir eine Gerade mit der Gleichung:
y = 2/3 x
Eine Gerade hat aber nie eine senkrechte Asmyptote, also gibt es für t = 0 eine Definitionslücke.
Worüber ich mich jetzt wundere, dass diese Geradengleichung für t = 0 auch schon die Gleichung für die schräge Asmyptote ist. Zufall oder Lösungsweg?
So ermittle ich nämlich die schräge Asymptote:
Polynomdivision:
(30x^2 + 10tx + 3t) / (45x + 15t) = 2/3 x - 7t/(45x + 15t)
30x^2 + 10tx + 10t
-------------------------------
Rest:...................-7t
Der Rest -7t/(45x + 15t) geht für x → ∞ gegen 0
Damit lautet die Asymptotengleichung:
y = 2/3x
Es steht da doch was du als nächstes tun sollst. Die berechnete Nennernullstelle in das Zählerpolynom einsetzen und prüfen für welche Werte von t das auch = 0 wird (dann hat man eine hebbare Definitionslücke).
Für die schräge Asymptote führe die Polynomdivision mit Rest durch. Das t ist da ein klein wenig hinderlich aber nicht so sehr dass es unmöglich ist.