Gauß-Jordan-Algorithmus und legale Rechenoperationen?
sowohl Zeilen als auch Spalten dürfen ja z.B. miteinander addiert/vertauscht usw. werden. Nehmen wir an Ziel ist es eine inverse Matrix zu erzeugen. Dann könnte man ja neben dem adjunkten Verfahren halt den Gauß-Jordan-Algorithmus nutzen. Darf man denn z.B. im Schritt 1/2 Spalten voneinander subtrahieren und dann in den weiteren Schritte auf Zeilen umsteigen (und umgekehrt) ?
1 Antwort
Nein, man darf hierbei nicht einfach zwischen Spalten- und Zeilenoperationen beliebig hin und her wechseln. Man kann das komplett mit Spaltenoperationen durchführen, oder komplett mit Zeilenoperationen durchführen, aber das nicht miteinander mischen.
============
Beispiel:
Betrachte die Matrix
mit inverser Matrix
------------
Bei Berechnung der inversen Matrix mit Gauß-Jordan-Algorithmus mit Zeilenoperationen würde man hier rechnen...
------------
Bei Berechnung mit Spaltenoperationen würde man hier rechnen...
------------
Was hier jedoch nicht richtig wäre, wäre Zeilen- und Spaltenoperationen zu kombinieren. Beispielsweise würde man so fälschlicherweise rechnen...
Du solltest nun erkennen, dass die so erhaltene vermeintliche inverse Matrix nicht mit der tatsächlichen inversen Matrix übereinstimmt.
============
Anstatt nun aber einfach nur zu sagen „Geht nicht.“, möchte ich im Folgenden kurz erläutern, woran das liegt.
------------
Wenn man das Verfahren mit Zeilenoperationen durchführt, so setzt man quasi zunächst A ⋅ A⁻¹ = E an, wobei E die entsprechende Einheitsmatrix sei. Als Kurzschreibweise für A ⋅ A⁻¹ = E schreibt man dann hier meist einfach (A | E).
Das Anwenden von elementaren Zeilenoperationen entspricht nun dem multiplizieren entsprechender Elementarmatrizen von links.
------------
Wenn man das Verfahren mit Spaltenoperationen durchführt, so setzt man quasi zunächst A⁻¹ ⋅ A = E an, wobei E die entsprechende Einheitsmatrix sei. Als Kurzschreibweise für A⁻¹ ⋅ A = E schreibt man dann hier meist einfach (A | E).
Das Anwenden von elementaren Spaltenoperationen entspricht nun dem multiplizieren entsprechender Elementarmatrizen von rechts.
------------
Würde man nun beispielswe mit Zeilenoperationen anfangen und dann mit Spaltenoperationen weitermachen wollen...
Das Grundproblem, warum man Zeilen- und Spaltenoperation bei diesem Verfahren nicht einfach kombinieren kann, ist also, dass Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist.
Dann hast du wohl ein gutes Bauchgefühl.
Das ist gut. Und noch besser ist es, wenn man nicht einfach nur auf sein Bauchgefühl hört, sondern wenn man dann sicherstellt, dass man mit dem Bauchgefühl auch richtig liegt. Beispielsweise indem man andere frägt, wenn man sich selbst nicht sicher ist, wie du es getan hat.
Ich kenne auch andere Leute, die einfach auf ihr falsches Bauchgefühl hören, und dann entsprechend Fehler machen.
dann ist mir aber folgendes aufgefallen :
für A ⋅ A⁻¹ = E schreibt man dann hier meist einfach (A | E).
Kurzschreibweise für A⁻¹ ⋅ A = E schreibt man dann hier meist einfach (A | E).
(A | E) heißt also : Multiplikation von A mit ihrer Inversen , egal ob von rechts oder von links heißt immer (A | E)
Naja. Es ist halt einfach eine Schreibweise, die man in diesem Zusammenhang verwendet.
Im Grund ist das hier in der Regel einfach eine Kurzschreibweise, um in einer kurzen übersichtlichen Form alles aufzuschreiben. Ich möchte behaupten, dass ein Großteil von Schülern und Studenten sich der Tatsache gar nicht bewusst sind, dass es im Grunde eine Kurzschreibweise für A ⋅ A⁻¹ = E ist, und eben einfach diese „erweiterte Koeffizientenmatrix“ ansetzen, ohne sich dessen bewusst zu sein.
https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix#Verfahren
Meist verwendet man sowieso Zeilenoperationen, so dass man das in der Regel als Kurzschreibweise für A ⋅ A⁻¹ = E sehen kann. Es spricht aber auch nichts dagegen die gleiche Schreibweise (A | E) auch für A⁻¹ ⋅ A = E als überischtliche Form zu verwenden, wenn man mit Spaltenoperationen arbeitet, um sich entsprechende Schreibarbeit zu sparen.
Du solltest auch Bedenken, dass wenn man eine Zeilenoperation bzw. Spaltenoperation anwendet, dann in den Zwischenschritten (S | T) nicht S ⋅ S⁻¹ = T bedeutet, sondern weiterhin S ⋅ A⁻¹ = T. Insofern ist dann...
„(A | E) heißt also : Multiplikation von A mit ihrer Inversen“
...so nicht vollkommen richtig.
himmel , so viel arbeit ! hast du schon alles auf Vorrat oder schreibst du es extra für diese Frage ?
Sehr hilfreich ich danke dir. Mein Bauchgefühl sagte mir schon, dass das nicht legal wäre.