Determinante mit Gauß berechnen - Spaltentausch währenddessen erlaubt?
hallo,
Auf dem bild ist zu sehen , dass die spalten der matrix getausch wurden um leichter den gauß algorithmus zu bekommen um im weiteren verlauf die determinanten zu berechnen.
Aber ich habe noch nie gesehen , dass man beim gauß die spalten tauschen dürfte und davor dann ein -1 hinschreibt? kann mir einer bitte sagen wie diese regel heißt und wie genau das funktioniert?
danke^^
1 Antwort
Um zu sehen, wieso man das darf, muss ich ein bisschen ausholen. Nenne deine Matrix M und der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte nennt man m(i,j).
Eine Permutation auf n Elementen (ein Element der S(n)) ist eine Vertauschung der Menge (1,2,...,n). z.B. (5,4,3,2,1) ist eine Permutation in der S(5) (S steht für symmetrische Gruppe).
Wenn du ein Produkt ∏(von i = 1 bis n)m(i,s(i)) für eine Permutation bildest, dann nimmst du n Elemente aus deiner Matrix, sodass aus jeder Spalte und jeder Zeile genau ein Element genommen wird, und multiplizierst diese Elemente zusammen.
Informell ist eine Permutation s in S(n) eine Vertauschung von Elementen. Wenn du die Elemente wieder in die richtige Reihenfolge bringen willst, dann vertauschst du k mal zwei Elemente (du sortierst sozusagen deine Menge wieder, indem du nacheinander zwei Elemente vertauschst). Wenn du ungerade viele Vertauschungen brauchst, um die Permutation s "richtigzustellen", dann nennt man s positiv (Vorzeichen sign(s) = 1), falls du ungerade viele Vertauschungen brauchst, nennst du s negativ (Vorzeichen sign(s) = -1).
Da wir das jetzt alles haben, kann ich dir eine Formel für die Determinante geben, nämlich: Die Summe für alle s in S(n) über das Produkt ∏(von i = 1 bis n)sign(s) * m(i,s(i)). Du bildest also diese Produkte, bei denen du aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nimmst und aufeinandermultiplizierst und machst sie evtl. negativ, falls deine Sortierung negativ ist. Das machst du auf alle (!) möglichen Arten und addierst diese Produkte auf. Das ist etwas schwer zu verdauen, aber du musst es erstmal hinnehmen.
Wenn du zwei Zeilen (oder Spalten, ist egal) vertauschst, dann brauchst du eine Vertauschung mehr, um deine Permutation richtigzustellen (nämlich du tauschst die Zeilen/Spalten zurück und drehst dann die ursprüngliche Permutation zurück). Wenn deine Permutation also positiv war, dann ist deine neue Permutation negativ, und wenn sie vorher negativ war, dann brauchst du jetzt eine positive Permutation. Daher dreht sich das Vorzeichen jedes Summanden um, und deshalb kannst du es einfach nach vorne ziehen.
LG
Anmerkung: Wenn du diese Formel gut verstehst, dann verstehst du Matrizen. Mach dir mal klar am Fall 2x2-Matrix bzw. 3x3-Matrix, wieso genau die Determinante rauskommt, die du dir vorstellst. Du kannst damit sogar noch viel mehr anstellen. In der letzten Zeile deines Bildes wurde die Matrix mit der Entwicklungsformel reduziert. Aus genau der von mir genannten Formel erkennst du, warum du abwechselnd ein + und ein - vor den Koeffizienten brauchst.