Funktionenschar?
Kann mir jemand bitte diese Aufgabe erklären?
Danke im Voraus :)
3 Antworten
f_k(x) = x ^ 3 - k * x ^ 2 + 4
f´_k(x) = 3 * x ^ 2 - 2 * k * x
f´´_k(x) = 6 * x - 2 * k
3 * x ^ 2 - 2 * k * x = 0
x * (3 * x - 2 * k) = 0
Satz vom Nullprodukt --> x_1 = 0
3 * x - 2 * k = 0
x_2 = (2 / 3) * k
Prüfen wann Hochpunkte und wann Tiefpunkte vorliegen :
6 * 0 - 2 * k = 0
- 2 * k = 0
Für k < 0 liegen an x_1 = 0 nur Tiefpunkte. Da k die Werte von 2 <= k <= 4 durchlaufen soll spielt der Extremwert bei x_1 = 0 daher keine Rolle, weil dann bei x_1 = 0 Hochpunkte vorliegen.
6 * ((2 / 3) * k) - 2 * k = 0
2 * k = 0
Für k > 0 liegen an x_2 = (2 / 3) * k nur Tiefpunkte. Da k im Intervall von 2 <= k <= 4 größer als Null ist, liegen bei x_2 = (2 / 3) * k Tiefpunkte.
Ortskurve der Tiefpunkte finden :
f((2 / 3) * k) = ((2 / 3) * k) ^ 3 - k * ((2 / 3) * k) ^ 2 + 4
f((2 / 3) * k) = (8 / 27) * k ^ 3 - (4 / 9) * k ^ 3 + 4
f((2 / 3) * k) = 4 - (4 / 27) * k ^ 3
x = (2 / 3) * k
k = (3 / 2) * x
y = 4 - (4 / 27) * k ^ 3
y = 4 - (4 / 27) * ((3 / 2) * x) ^ 3
y = 4 - (1 / 2) * x ^ 3 --> Das ist die Ortskurve.
Bestimmen Sie k so, dass der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt :
y = 4 - (4 / 27) * k ^ 3
4 - (4 / 27) * k ^ 3 = 0
27 = k ^ 3 | ... ^ (1 / 3) Dritte Wurzel
k = 3
Nein, kann ich nicht.
Genauer als so wie ich es hingeschrieben habe, kann ich es nicht noch machen.
Wenn du mehr dazu wissen willst, dann schaue auf Google und Youtube zum Thema Ortskurve nach, oder frage deinen Lehrer.
löse die Gleichung fk '(x) = 0
Dadurch erhälst du maximal 2 Extremstellen in Abhängigkeit von k
Die rechte Extremstelle xE(k) muss die x-Koordinate des Tiefpunktes sein in Abhängigkeit von k
Setze die rechte Extremstelle in fk (x) ein und du erhälst ist die y-Koordinate des Tiefpunktes in Abhängigkeit von k
die y-Koordinate des Tiefpunktes Ist 0, wenn der Tiefpunkt auf der x Achse liegt
um das entsprechende k zu berechnen, löse die Gleichung fk(xE(k)) = 0 nach k auf
du sollt bei -k die werte 2 und 4 einfügen und mit dem GTR am besten berechnen
und dann am graphen denn Tiefpunkt ablesen
und die letzte frage ist bestimmt 0 oder 6
Erstmal danke für die ausführliche Hilfe. Kannst du mir den Teil mit der Ortskurve noch einmal erklären?