Frage zur Definition von Familien?
Guten Tag, ich habe leider ein kleines Problem mit der Definition von Familien und zwar:
Seien I, X Mengen und f: I -> X eine Abbildung, dann nennen wir f auch Familie. Wir schreiben:
Mein Problem ist nun, dass die Familie ja letztendlich ein n-Tupel ist (n = | I |), wobei die Funktion nach unsere Definition eine Teilmenge des Kartesischen Produkts I x X ist. Das würde ja für eine Menge aus Paaren sprechen. Mir ist mehr oder weniger klar, dass man das so darstellen kann, aber mir kommt es dennoch etwas "unsauber" vor und ich bin auch etwas verunsichert ob ich eventuell einem groben Denkfehler unterliege. Kann von euch vielleicht jemand etwas Licht ins Dunkel bringen?
Über Antworten freue ich mich sehr!
3 Antworten
Eine endliche oder abzählbare Familie kann man sich durchaus als ein (möglicherweise unendliches) Tupel vorstellen. Aber eigentlich werden Familien nicht eingeführt, um Tupel zu definieren, sondern sie lösen ein ganz anderes Problem.
Stell dir eine beliebige Abbildung f: I -> X vor. Die Menge B = {f(i) | i ∈ I} ist bekanntermaßen das Bild der Abbildung und enthält alle Werte aus X, die durch f getroffen werden. Aber aus der Menge B kann man nicht ablesen, ob ein Element mehrfach von f getroffen wird oder nicht, weil Mengen doppelte Elemente ignorieren.
Warum ist das ein Problem? Schauen wir uns einmal den Begriff der linearen Abhängigkeit an und versuchen, ihn ohne Familien zu definieren. Man könnte etwas versuchen wie "Eine Menge A heißt linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination von Vektoren in A gibt, die den Nullvektor ergibt". Aber dann hätten wir z.B. das Problem, dass identische Vektoren nicht linear abhängig wären, etwa weil {v, v} = {v} nach obiger Definition nicht linear abhängig ist, wenn nicht gerade v = 0 gilt [Schlimmer noch: Streng genommen könnte man nicht einmal die Aussage formulieren, dass zwei identische Vektoren linear abhängig sind]. Für die Definition muss also eine Struktur geschaffen werden, die "ähnlich" wie Mengen funktioniert, aber Mehrfachnennungen von Elementen berücksichtigt.
Im Prinzip ist eine Familie nur eine andere Schreibweise für eine Funktion, bei der man den Definitionsbereich und die Zuordnungsvorschrift ein wenig in den Hintergrund rückt und so den getroffenen Elementen mehr Bedeutung verleiht. Bei Familien interessiert man sich nämlich sehr häufig gar nicht so richtig für das I.
Nach obiger Erklärung muss I auch in keiner Weise geordnet sein. Man könnte z.B. die Familie (a_i)_{i ∈ C} betrachten mit a_i = |i|, wobei C hier die (ungeordnete) Menge der komplexen Zahlen darstellt.
Insofern würde ich Familien nicht als Definitionshilfe von Tupeln verwenden; für Tupel gibt es immerhin die elementare Definition nach Kuratowski. Bei der dreht man sich bei seinen Definitionen dann auch nicht im Kreis ;)
Vielen, vielen Dank schon mal! Ich werde mir morgen, mit einem frischen Kopf, das Ganze dann ordentlich durchdenken.
Die Indexmenge muss aber nicht unbedingt abzählbar einschließlich endlich sein (sollte aber geordnet sein).
Mit der Abbildung f: I -> X legst du fest, wie die x_i auszusehen haben und kannst auf diese zurück greifen. Wenn du es als kartesisches Produkt schreibst, werden diverse Beweise etwas umständlicher (aber nur etwas).
Sorry, dass ich jetzt noch weiter nerve, aber unabhängig davon ob nun die Indexmenge endlich oder unendlich ist, die Vorstellung als Tupel (endlich oder unendl.) ist ja korrekt. Ein Tupel ist ja geordnet, bzw. die Reihenfolge ist relevant, deshalb will mir nicht in den Kopf, wie das bei einer ungeordneten Indexmenge funktionieren soll.
Zusatzfrage: Ist eigentlich eine Art Ordnung für die Indexmenge benötigt?
I kann alles mögliche sein, ich sehe nicht, was hieran unsauber sein soll.
Ja, dass sie nicht zwangsweise abzählbar sein muss, ist mir klar, aber ich habe mich bei der Definition eben gewundert, denn angenommen die Indexmenge wäre nicht geordnet, so könnte ich aus den Paaren die sich aus der Funktion ergeben nicht auf das Tupel der Familie schließen und dann würde diese Definition für mich gar keinen Sinn ergeben.