Kartesisches Produkt von Sigma Algebren?

Guten Tag,

ich versuche mich momentan an ein paar Aufgaben zur Mengentheorie.
Dabei komme ich beim kartesischen Produkt nicht so gut voran wie ich es gerne würde.

Mal angenommen ich habe omega = {0,1}, eine sigma algebra A = {{1,0}, { }, 0, 1} und würde das kartesische Produkt A x A bilden wollen.

Mein Ansatz wäre es alle möglichen Tupel zu bilden, also
A x A = { (1,1), (1,0), (1, { }), (1,{1,0}), (0,1), (0,0), (0,{ }), (0,{1,0}) ... }

Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher wie es sich mit der leeren Menge verhält. Kann man einfach ein Tupel (0, leere Menge) bilden? Was ist die Intuition dahinter?

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

Mein Ansatz wäre es alle möglichen Tupel zu bilden, also

Ja, das ist richtig.

Ist M eine Menge, dann ist MxM = { (m,n) | m, n ∈ M }

Das nun "stur" auf A anwenden, und Vorsicht bei der Schreibweise:

Ω = {0, 1}

Du nimmst als Sigma Algebra die Potenzmenge von Ω: A = P(Ω), also

A = { Ø, {0}, {1}, {0,1} }

Jedes Element von A ist eine Teilmenge von Ω und muss in geschweifte Klammern gesetzt werden (bis auf Ø, die schon eine Teilmenge ist).

Dann ist AxA = { (a,b) | a, b ∈ A }, also

AxA = { (Ø, Ø), (Ø, {0}), (Ø, {1}), (Ø, {0,1}), ({0}, Ø), ({0}, {0}), ({0}, {1}), ({0}, {0,1}),

({1}, Ø), ({1}, {0}), ({1}, {1}), ({1}, {0,1}), ({0,1}, Ø), ({0,1}, {0}), ({0,1}, {1}), ({0,1}, {0,1}) }

Gruß

Comments

[DrGuenther3]

Vielen Dank, dann habe ich das nun endlich verstanden. Auch dein Hinweis mit den geschweiften Klammern war sehr nützlich, dankeschön!