Fixpunkt?
Ich soll für diese Funktion begründen warum sie einen Fixpunkt hat... ich habe bereits versucht f(x) gleich x zu setzen.. aber dafür bekomme ich keine Lösung heraus... was kann ich noch machen?
Hier die Lösung, ich hoff mal das es formal klar geht... :)
4 Antworten
------ Hinweis 1 ------
Betrachte die Differenz g(x) := f(x) - x und versuche zu begründen, dass g(x) eine Nullstelle hat.
------ Hinweis 2 ------
Wende den Zwischenwertsatz bei g(x) an.
====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======
Die Lösungen der Gleichung
mit x ∈ [4, 9] sind offensichtlich gleich den Nullstellen der Funktion
Die Funktion g ist offensichtlich als Summe bekanntermaßen stetiger Funktionen stetig. Außerdem gilt
und
Dementsprechend gibt es nach Zwischenwertsatz mindestens ein x ∈ [4, 9] mit g(x) = 0. Diese Stelle x erfüllt dann f(x) = x und ist somit ein Fixpunkt von f.
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Der in deinem Bild...
... genannten Lösung würde ich nicht volle Punktzahl geben. Denn...
- 5,39 bzw. 7,2 ist nicht der exakte Wert an der Stelle. Da hast du gerundet. Du hast aber keine Aussage dazu getätigt, wie stark du gerundet hast, und ob das dementsprechend für deinen Zweck von der Genauigkeit ausreicht. [Anderes Beispiel: Gilt x² > x an der Stelle x = 0,75? Da könntest du auch sagen... 0,75² = 0,5625 hat mir zu viele Nachkommastellen. Ich runde mal 0,5625 zu 1 auf. Und dann ist 1 > 0,75 also x² > x an der Stelle. Prima, oder? Aber leider falsch, da offensichtlich zu stark gerundet worden ist.]
- Des Weiteren: Was soll mit „Punkt oberhalb von f(x) = x liegt“ gemeint sein? welcher Punkt. Und was soll „oberhalb von [Gleichung]“ heißen. Wann liegt ein Punkt oberhalb einer Gleichung?
- Ich denke du meinst... Es gibt eine Stelle x mit f(x) > x und eine Stelle x mit f(x) < x. Aber was für ein Satz sagt dir nun, dass es dann einen Fixpunkt geben muss? [Führe das doch bitte auf einen bekannten Satz (Zwischenwertsatz) zurück oder beweise anderweitig die Aussage.] Außerdem hast du vergessen, eine wichtige Voraussetzung zu nennen (die hier offensichtlich zwar gegeben ist, aber von dir nicht erwähnt wurde, dass sie hier gegeben ist), nämlich die Stetigkeit der Funktion. Für unstetige Funktionen findet man nämlich Gegenbeispiele.
Die Idee ist im Grunde richtig, aber nicht formal sauber ausgeführt.
Da nur eine Begründung gefordert ist, aber keine Berechnung des Fixpunkts erforderlich ist, reicht meines Erachtens:
- f(4) und f(9) zu berechnen
- beides mit g(4) und g(9) für g(x) = x zu vergleichen und
- mit der Stetigkeit von f(x) zu argumentieren, dass der Graph von f(x) denjenigen von g(x) schneiden muss.
Skizze dazu:
Also würde formal reichen ...
Na ja, was "formal reicht", hängt ein wenig davon ab, ob wir den extrem strengen Kriterien einer Erst-Semester-Vorlesung "Analysis 1" an einer Universität genügen müssen oder ob man Schulmathematik betreibt. Im letzteren Fall würde ich mal behaupten, genügt das für eine Begründung.
Wenn Du die Funktion f(x) grafisch darstellst und zusätzlich die Funktion g(x) = x einzeichnest, werden 2 Fixpunkte erkennbar. Einer davon liegt im gesuchten Intervall. Rechnerisch ist ein Näherungsverfahren (z.B. das Newtonverfahren) erforderlich, um x zu bestimmen.
Formal liegt da noch einiges im Argen. Zeige für g(x) := f(x)−x:
- g(4) ≥ 0
- g(9) ≤ 0
- g ist stetig auf [4, 9]
Das reicht dann für den Zwischenwertsatz (⇒ ∃x∊[4, 9] g(x)=0).
Die groben Abschätzungen ln(4)>ln(1)=0 und ln(9)<ln(16)=ln(2⁴)<ln(e⁴)=4 reichen dazu locker aus. Kein Grund, den Taschenrechner zu zücken.
Also würde formal reichen zu schreiben das für x=4 f(x)>x und für x=9 f(x)<x ein Punkt oberhalb von f(x)=x und ein Punkt unterhalb liegen muss, daher existiert mindestens ein Fixpunkt.