Extremstellen nach ihrer Art untersuchen, ist es damit gemeint ob es ein Hochpunkt oder Triefpunkt oder eine Extremstelle und Sattelstelle hat?

Arten des Extremwerts an der Stelle x sind:

f ' ' (x) > 0 (Hochpunkt - Maximum)
f ' ' (x) < 0 (Tefpunkt - Minimum)
f ' ' (x) = 0 (notwendige Bedingung für Sattelpunkt)

Beim Sattelpunkt handelt es sich ja um einen Wendepunkt, es muss also auch
f ' (x) = 0 sein und ggf. noch die 3. Ableitung betrachtet werden.

Manche sagen auch: Charakter der Extremwerte.

Manchmal soll man auch noch wissen, ob die Extremstelle ein "absolutes" Max oder Min der Funktion ist. Dann hat man weiteren Aufwand zu zeigen, dass es keine andere Stelle gibt die "höher", "tiefer" liegt als die ermittelte Extremstelle.
Ohne diese Prüfung kann man eigentlich "nur" von einer "lokalen" Extremstelle sprechen. 

Ja , Extremstellen können nur Hoch - oder Tiefpunkte sein.

Von einer Extremstelle spricht man nicht , wenn es um einen Wendepunkt geht. Und nur der kann ein Sattelpunkt sein.

Es dürfte auf jeden Fall gemeint sein: Hoch- oder Tiefpunkt.

Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt und kein relativer Extrempunkt.

beachte auch:

1. Ableitung = 0 bei Extremstellen, also Hoch- und Tiefpunkt und bei Sattelpunkt