Extremalproblemee?
Der Echtpunkt P(x/y) des abgebildeten achsenparallelen Rechtecks liegt auf der Parabel f(x)=3-x^2 . Wie muss x gewählt werden, damit die Rechtecksfläche maximal wird ?
2 Antworten
Leider sehe ich keine Abbildung. Wenn das Rechteck zwischen (0,0) und (x,f(x)) gemeint ist, dann ist seine Fläche:
A(x) = x*f(x) = x * (3-x^2) = 3*x - x^3
mit 0<x<sqrt(3)
Die Extremwerte werden ermittelt, indem man A nach x ableitet:
A´(x) = 3 - 3*x^2
... und diesen Wert mit 0 gleichsetzt:
3 - 3*x^2 = 0
Diese Gleichung wird dann gelöst:
3 = 3*x^2
1 = x^2
x=(+-)1
Der Wert x=-1 ergibt keinen Sinn, weil x zwischen 0 und sqrt(3) liegen soll. Also gilt:
x=1
Dass es sich um ein Maximum handelt, kann man anhand einer Zeichnung auch visuell feststellen.
Die maximale Fläche bei x=1 ist dann:
A(1) = 3*1 - 1^3 = 3-1 = 2
Also der Wert - 1 ergibt Sinn, da dieser durch die Wurzel als Ergebnis definiert wird. Wir rechnen ja nicht die Wurzel von 3 aus sondern von 1. Es liegt auch kein Definiotionsbereich vor. Es wird nur gefragt wann die Fläche maximal wird. Somit sind beide Antwortmöglichkeiten richtig. Je nach Extremwertproblem muss man die negative Zahl ausschließen, da diese nicht zur aufgabe passt. Hier wären aber -1 und 1 richtig da beides Extremwerte sind und beide die Aufgabe beantworten.
Betrachte das halbe Rechteck: A/2 = x·f(x)