Exponentialfunktion Ableiten und Integrale?
Hallo kann mir jmd bei folgender Aufgabe helfen. Ich schreib bald eine Klausur und komme hier einfach nicht mehr weiter. Ich verstehe es gar nicht
4 Antworten
b)
Praktisch : Das Integral von e^x ist auch e^x
Das Integral lautet
F(x) = 1/2 * x² - e^x
Einsetzen von 0 und 2
1/2 * 2² - e^2 - ( 1/2 * 0² - e^0 ) =
2 - e² + 1 = 3 - e²
c)
F(x) = e^x - 1/2 * x²
Einsetzen 1 und 0
und schließlich noch 1*1 abziehen, denn die Fläche unter der Kurve reicht ja nur bis y = 1
d)
hier darf und muss man
schwarz minus rot bestimmen
und dann das Integral danach
-x² + e^x - ( -x + e^x ) =
-x² + x
-1/3 * x³ + 1/2 x²
die Schnittpunkte beider Fkt sind
dir schon gegeben : x = 0 und x = 1
ergänzung zu b)
2 - e² + 1 = 3 - e² ist < 0 , für die F lächen E inheiten FE nimmt man den Betrag .
Zuerst musst du gucken, in welchem Intervall der markierte Flächeninhalt liegt. Bei b z.B. zwischen 0 und 2 oder bei c von 0 bis 1.
Dann leitest du die Funktionen jeweils auf, also z.B. bei b ist F(x)=0,5x^2 die Aufleitung. Beachte, dass die Aufleitung wie F(x) immer abgeleitet f(x) ergibt.
Dann berechnest du das Integral, indem du die höhere der beiden Zahlen minus die kleinere rechnest. Dafür setzt du bei z.B. bei b zuerst 2 für x ein und danach 0 für x. Also: (0,5*2^2-e^2)-(0,5*0^2-e^0).
Beim Integral musst du immer aufleiten
bei a) wäre das F(x)=3/1e^x
Die Grenzen siehst du anhand der gelben fläche. Also 0 und -4
Diese Grenzen setzt du in die F(x) ein, dabei die größere Zahl, in dem Fall 0 F(0) zuerst: 3/1e^0. Davon ziehst du die F(-4) ab (3/1e^(-4)) ab. Deine Rechnung lautet also zusammengefasst: 3/1e^0-(3/1e^(-4)) ist dein Integral.
a) f(x)=3*e^(x) integriert
F(x)=∫3*e^(x)*dx=3*∫e^(x)*dx
F(x)=3*e^(x)+C obere Grenze xo=0 untere Grenze xu=-∞
A=obere Grenze minus untere Grenze
A=(3*e⁰) - (3*e^(-∞)) mit e^(-∞)=1/e^(∞)=0
A=3*e⁰=3*1=3 FE (Flächeneinheiten)
b) f(x)=x-e^(x) integriert
F(x)=∫(x-e^(x))*dx=∫x*dx-1*∫e^(x)*dx
F(x)=1/2*x²-1*e^(x)+C obere Grenze xo=2 und untere Grenze xu=0
A(1/2*2²-1*e²) - (1/2*0²-e⁰)=(-5,389) - (-1)
A=-5,389+1=-4,389 FE
Betrag |A|=4,389 FE (Flächeneinheiten)
Hinweis:Das Minuszeichen tritt auf,weil die Fläche A unter der x-Achse liegt
c) F(x)=∫(e^(x)-x)*dx
F(x)=e^(x)-1/2*x²+C xo=1 und xu=0
A=große Fläche minus kleine Fläche
A=Ag - Ak mit Ak=1*1=1 FE
Ag=(e¹-1/2*1²) - (e⁰-1/2*0²)=(2,21828) - (1-0)
Ag=1,21828
A=1,21828-1=0,21828 FE
d) Fläche zwischen 2 Graphen A=∫f(x)-g(x)
f(x)=obere Begrenzung
g(x)=untere Begrenzung
A=∫(-1*x²+e^(x)) - (-1*x+e^(x))=∫-1*x²+e^(x)+x-e^(x))*dx
A=-1*∫x²*dx+1*∫x*dx
A=-1/3*x³+1/2*x²+C mit xo=1 und xu=0
A=(-1/3*1³+1/2*1²) - (0)=-1/3+1/2=-2/6+3/6
A=1/6 FE
2 Möglichkeit:
A=große Fläche minus kleine Fläche
A=(F1(xo)-F1(xu)) - (F2(xo) - F2(xu)) mit xo=1 und xu=0