e^x = -2x?
Hallo Leute!
Irgendeine Ahnung, wie man
am besten angeht?
LG
2 Antworten
Hallo,
es gibt keinen Algorithmus, über den man solche Gleichungen lösen kann.
Was es gibt, ist die Lambertsche W-Funktion oder Omega-Funktion, wie sie auch genannt wird.
Sie ist die Umkehrfunktion zu f(x)=x*e^x und liefert Dir zu einem gegebenen Funktionswert den dazugehörigen Wert für x.
Bevor Du Hurra schreist, zwei Wermutstropfen:
Du mußt natürlich eine Gleichung wie Deine erst einmal so umformen, daß sie mit dieser Funktion gelöst werden kann - das ist aber durchaus machbar.
Das zweite Problem wiegt schwerer: Du kannst die Omega-Funktion nicht einfach lösen, da sie keine elementare Funktion ist. Es gibt aber Tabellen und Computerprogramme, die hier weiterhelfen, zum Beispiel das kostenlose Programm Mathematik alpha, das unter anderem ein Lexikon beinhaltet.
Gibst Du da Lambertsche W-Funktion ein, bekommst Du auf der zweiten Seite unter diesem Stichwort einen Rechner für genau solche Werte.
Da die W-Funktion in einigen Bereichen zwei Äste hat, bekommst Du manchmal zwei Werte, die Du daraufhin überprüfen mußt, ob beide oder ob nur einer Deine Gleichung löst.
Die Umformung geht so:
e^x=-2x |*e^(-x)
1=-2x*e^(-x) |:2
1/2=-x*e^(-x)
Jetzt bist Du fast am Ziel: Der Exponent von e ist gleich dem Faktor vor dem e, hier: -x.
Substituiere -x=u und gib 1/2 in den Rechner ein.
Du bekommst die beiden Werte u1=0,35173371 und u2=0,1174765
Da x=-u, mußt Du vor beide Lösungen noch ein Minuszeichen setzen und nun die Probe machen:
Für x1=-0,35173371 geht die Gleichung auf, für x2 nicht.
Es gibt also nur eine Lösung, nämlich x=-0,35173371.
Wenn Du ein Programm hast oder entsprechende Tabellen, ist dieses Verfahren eleganter als das Newton-Verfahren, basiert aber letztlich auch auf Näherungen.
Herzliche Grüße,
Willy
Da fällt mir nur eine numerische Lösungsmethode ein z.b das Tangentenverfahren.
Vielleicht habe ich den unbekannten Begriff genutzt. Der andere Name wäre das Newtonverfahren. Ob du die komplexe Schiene nehmen kannst, kann ich als kein Mathestudent nicht beantworten, aber du suchst ja die einzige REELE Lösung.
Ok, kenn' ich noch nicht.
Wäre die Eulersche Formel hier auch verwendbar?