Funktion durch die 1. Ableitung teilen?
Hallo,
kann mir bitte jemand sagen, was man eigentlich herausbekommt, wenn man irgendeine Funktion durch deren 1. Ableitung teilt? Z.B.
f(x) = x²
f´(x) = 2x
x² / 2x
Was sagt dann dieses Ergebnis aus? Ist es eine Nullstelle von einer Tangente oder was ist es dann?
3 Antworten
Da du ja dabei bist, das Newton-Verfahren zu verstehen für deine Arbeit:
Aufgabe: du willst die Nullstelle der Funktion f(x) finden und weißt, dass sie in der Nähe von x0 liegt (ein Anfangswert, den du z.B. aus einer groben Zeichnung abgelesen hast).
Die Idee ist nun, dass die Tangente im Punkt P(x0|f(x0)) die x-Achse näher an der gesuchten Nullstelle schneidet als x0. Die neue Nullstelle ist x1 (und im weiteren Verlauf x2, x3 usw.)
Die Tangente in P hat die Steigung f '(x0), es gilt also mit y = mx + b
f(x0) = f ' (x0) x0 + b <=> b = f(x0) - x0 f '(x0)
d.h. die Tangente hat die Gleichung
y = f '(x0) x + f(x0) - x0 f '(x0)
Bei welchem x schneidet die Tangente die x-Achse?
0 = f '(x0) x + f(x0) - x0 f '(x0)
<=> - f(x0) + x0 f '(x0) = f '(x0) x<=> (-f(x0) + x0 f '(x0)) / f ' (x0) = x
<=> -f(x0) / f '(x0) + x0 = x
Und dieses x, die Nullstelle der Tangente, ist der verbesserte Näherungswert, mit dem du in die nächste Runde gehst.
das ist eine beliebte Variante, um eine Stammfunktion zu finden ;)
aber sonst sagt das nicht wirklich was aus
nein, sorry es war genau umgekehrt:
Integral (f´(x)/f(x))= ln |f(x)| das meinte ich ;)
Nein das sagt im Prinzip erstmal nichts aus, nur das Verhältniss von Steigung zum Funktionswert.
Bei e^x wäre das durchgehend 1.
Aber es gibt durchaus einen Nutzen für die Rechnung, schau dir mal das Newtonverfahren zum Nummerischen Berechnen von Nullstellen an ;)