Funktionsscgar nullstellen berechnen?
Ich habe folgende funktionsschar:
Ft(x)= 2x^3-tx^2+8x
t=2 also ich die funktionsgleichung:
F2(x)= 2x^3-2x^2+8x
Nun muss ich die nullstellen berechnen aber ich hab keine ahnung wie ich das tun soll kann mir jmnd helfen?
5 Antworten
Eine Funktionsschar behandelst du wie eine Funktion, wenn du Nullstellen, Extremwerte und alles andere ausrechnen willst. Der Parameter (meist a) kommt einer Zahl gleich, und ob du in der p,q-Formel p = 2,5 oder p = a/2 hast, ist doch völlig egal.
Nur eins ist von Wichtigkeit! Bruchrechnung kommt wieder groß 'raus. Die Hälfte von 2,5 (1,25) kannst du leicht errechnen, von a/2 aber nicht so ohne Weiteres (a/4). Da hilft dir auch dein Taschenrechner meist nicht.
Erst wenn man eine Funktionsdiskussion erledigt hat, kommen die Parameter für zusätzliche Aussagen ins Spiel.
http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm
http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-2.htm
Die Diskriminante t²/16 - 4 kannst du dann für Voraussagen über Nullstellen benutzen, die von t als Parameter abhängen, z.B.
du bekommst immer 2 reelle Lösungen für
t²/16 - 4 > 0
t²/16 > 4
t² > 64
Das ist der Vorteil von Kurvenscharen. Man wird bei einer einzelnen Funktion nicht mehr durch die Lösungen überrascht.
Im Übrigen ist es die Notwehr der Mathelehrer gegen Taschenrechner, die ganze Kurvendiskussionen durchführen.
Mit Kurvenscharen haben sie jedoch Probleme.
F_t(x) = 2 * x ^ 3 - t * x ^ 2 + 8 * x
Gleich Null setzen :
2 * x ^ 3 - t * x ^ 2 + 8 * x = 0
Ein x ausklammern :
x * (2 * x ^ 2 - t * x + 8) = 0
Wegen dem Satz vom Nullprodukt ist eine Nullstelle x _ 3 = 0
Der Satz vom Nullprodukt lautet : "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist."
Wenn in x * (2 * x ^ 2 - t * x + 8) also das ausgeklammerte x Null wird, dann ist x * (2 * x ^ 2 - t * x + 8) = 0, daher erklärt sich x _ 3 = 0
Den Term innerhalb der Klammer Null setzen :
2 * x ^ 2 - t * x + 8 = 0
Durch 2 teilen :
x ^ 2 - (t / 2) * x + 4 = 0
pq - Formel anwenden:
Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.
pq - Formel -->
x _ 1, 2 = - (p / 2) ∓ √( (p / 2) ^ 2 – q )
p = - (t / 2)
q = 4
p / 2 = - (t / 4)
(p / 2) ^ 2 = - (t / 4) * - (t / 4) = (t ^ 2) / 16
Nun diese Identitäten in die pq-Formel einsetzen :
x _ 1, 2 = - (- (t / 4)) ∓ √((t ^ 2) / 16 - 4 )
x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √((t ^ 2) / 16 - 64 / 16 )
x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √((t ^ 2 - 64) / 16)
x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √((t ^ 2 - 64)) / √(16)
x _ 1, 2 = (t / 4) ∓ √(t ^ 2 - 64) / 4
x _ 1 = (t + √(t ^ 2 - 64)) / 4
x _ 2 = (t - √(t ^ 2 - 64)) / 4
x _ 3 = 0
Zu beachten ist, dass man nicht für jedes t reelle Lösungen erhält, denn sobald t ^ 2 - 64 < 0 ist, erhält man komplexe Zahlen als Lösungen.
t ^ 2 - 64 = 0 | + 64
t ^ 2 = 64 | √(..)
t _ 1 = - 8
t _ 2 = + 8
Im Bereich - 8 < t < + 8 erhält man komplexe Zahlen als Lösungen, also auch für t = 2
hier sind nur Therme mit x,also ist schon mal eine Nullstelle bei x1=0
Das sieht man so schon.Da braucht man gar nicht erst rechnen.
nun ein x ausklammern
f(x)=x*(2*x²-2*x+8)
nun den "Satz vom Nullproduckt" anwenden
c=a*b hier ist c=0 wenn a=0 oder b=0 oder beide a=b=0 ist
Also weitere Nullstellen,wenn der Klammerausdruck zu Null wird.
f(x)=2*x²-2*x+8 ist eine "quadratische Gleichung der Form
f(x)=a2*x²+a1*x+ao
Nornalform der Parabel 0=x²+p*x+q
Nullstellen mit der p-q-Formel ,siehe Mathe-Formelbuch "quadratische Gleichung" und auch die "Lösbarkeitsregeln"
x1,2=-p/2+/-Wurzel((p/2)²-q)
f(x)=2*x²-2*x+8 dividiert durch 2 ergibt
f(x)=0=x²-1*x+4 also ist hier p=1 und q=4
Nullstellen bei z1=0,5+i 1,936.. und z2=0,5-1,936.. sind Komplexe Zahlen
Es gibr also nur 1 "reelle Nullstelle" bei x1=0
x1,2=-(-1)/2+/-Wurzel ((1/2)²-4)=0,5+/- Wurzel(0,25-4)
Wurzel(-3,73)=+/- i 1,936.. hier ist i die imaginäre Einheit
siehe Mathe-Formelbuch "komplexe Zahlen"
x kommt in jedem Summanden vor, also... x ausklammern (Du kannst in diesem Fall mit t=2 sogar 2x ausklammern). Dann hast Du x mal quadratischen Term. Jetzt beide Faktoren separat Null setzen, also x=0 und Klammer=0. Die Klammer mit z. B. pq-Formel lösen.
(das ginge genauso mit t statt einer konkreten Zahl; dann müsstest Du eben nur "stur" das t durch die ganze Rechnung "mitschleppen"...)
Eine siehst du doch sofort: x = 0.
Bleibt
2x²-2x+8
Davon dann mit pq-Formel, Mitternatsformel
oder quadratischer Ergänzung die anderen
beiden ermitteln. Im Reellen gibt es aber keine.
ft(x)= 2x³ - tx² +8x
Nullstellen:
2x³ - tx² + 8x = 0 | ausklammern 2x
2x ( x² - t/2 x + 4)
1. Fall: 2x = 0 | /2
x₁ = 0
2. Fall: x² - t/2 x + 4 = 0 p = -t/2 q = 4
x₂,₃ = t/4 ± √(t²/16 - 4)