Wie werden Brüche im Exponent abgeleitet bei einer e-Funktion?
Hallo zusammen!
Ich lerne gerade für eine Matheklausur, nun hänge ich aber etwas an einer Aufgabe.
f(x) = e^(x/4)
wenn ich in die Lösungen schaue, dann schreibt man die erste Ableitung davon folgendermaßen (mit der Produktregel berechnet & noch nicht vereinfacht):
f'(x) = 1/4 e^(x/4)
Mir bereitet gerade aber der "1/4" Bruch vor dem "e^(x/4)" sorgen, da ich nicht weiß wieso es so abgeleitet wurde.
Und wie wäre die Ableitung, wenn es nicht e^(x/4) sondern e^(4/x) wäre und wieso?
Vielen Dank im Voraus für alle Antworten! :)
5 Antworten
Hallo,
einfach innere Ableitung mal äußere Ableitung.
Da die Ableitung von e^x auch e^x ist, ist die äußere Ableitung von e^(x/4) natürlich auch e^(x/4). Nur noch die innere Ableitung bilden, also die von x/4 bzw (1/4)x und die ist natürlich 1/4.
So kommt man zu f'(x)=(1/4)*e^(x/4).
Herzliche Grüße,
Willy
Das ist nicht die Produktregel, sondern die Kettenregel:
(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)
In dem Fall ist g(x) = 1/4x und f(x) = e^x.
Insgesamt ist also die Ableitung e^(x/4) * 1/4
Hier gilt die Kettenregel und nicht die Produktregel:
f(x) = g(h(x)) mit g(h) = e^h und h(x) = x/4
... und laut Kettenregel ist die Ableitung dann:
f'(x) = g'(h) * h'(x) mit g'(h)=e^h und h'(x) = 1/4
f'(x) = 1/4*e^(x/4)
Und jetzt kannst Du ausrechnen, was bei h(x) = 4/x herrauskommt.
Also bleibt bei einem Bruch als Exponent der Nenner so wie er ist, aber das "x" wird nur abgeleitet woraus dann 1/4 resultiert?
Bei dem 4/x Beispiel wiederum würde ich jetzt sagen, dass es 4e^(4/x) wären, aber die Lösung besagt, dass es " - ( 4e^(4/x) / x^2 )" wären, wo kommt dort aber nun das negative Vorzeichen und das x² her?
e Funktionen sind sehr einfach abzuleiten.
Schritt 1: Schreibe die Funktion so hin wie sie ist, also e^(x/4)
Schritt 2: Schau dir den Exponenten an und bilde davon die Ableitung. x/4 abgeleitet ist 1/4
Schritt 3: Die Ableitung vom Exponenten einfach davor schreiben also f'(x) = 1/4 * e^(x/4)
f(x) = e^(x/4)....................................merk dir Folgendes :
f(x) = e^(ax) ...........f'(x) = a*e^(ax) .............das ist doch easy
und was ist x/4 anderes als 0.25*x ? Also , alles klar oder ?
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Wissen : das a , was man vor e^(ax) schreibt , ist die innere Ableitung ( ax wird normal abgeleitet ) , insgesamt nennt sich das dann Kettenregel
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sogar e^(1/x) = e^(x^-1) wird so ableitet und wird zu -1/x² * e^(1/x)