Ein tunnel in form einer parabel hat den scheitelpunkt bei (0/4) und die nullstellen bei -2 und 2, wie lang kann eine gipsplatte sein wenn man sie durch den tu?
tunnel befördern will die dicke der platte wird vernachlässigt
3 Antworten
Das dürfte von der Höhe des Tunnels abhängen. Bzw. von seiner Breite.
Wenn mit "Form des Tunnels" nicht das Höhenprofil oder das Kartenbild der Fahrbahn gemeint ist sondern der Querschnitt, dann hängt die Maximallänge von den oben genannten, dann fehlenden, Größen ab. Wenn wir einen geraden Tunnel voraussetzen, kann die Platte ohne weiteres länger sein als der Tunnel.
Wie lautet die vollständige Aufgabenstellung?
Ja... und was genau verstehst du an der Aufgabe nicht?
Mach dir erst mal eine Zeichnung von der Situation!
Ich nehme an, dass mit der Form des Tunnels dessen Querschnitt gemeint ist (wennn die Scheitelpunkt- und Nullstellenangaben in Metern ist...???) und mit "Länge" nicht wirklich die Länge gemeint ist - diese kann beliebige Größe haben - sondern dessen Breite.
Ich vermute mal, dass das eine verunglückte Formulierung folgender Extremwertaufgabe ist:
Gegeben eine Parabel blabla..., die mit der x-Achse die Fläche T begrenzt.
Gesucht: eine Strecke PQ innerhalb von T mit maximaler Länge |PQ|. Statt der maximalen Länge dürfen wir L=|PQ|² untersuchen (wegen strenger Monotonie von x² für x≥0).
Die Parabel ist schnell bestimmt: y=a·(x+2)(x-2) mit a=-1 (wegen Scheitelpunkt bei y(0)=4).
1. T ist symmetrisch zur y-Achse. Mit einer Lösung PQ ist damit auch die an x=0 gespiegelte Strecke eine Lösung.
2. Bei einer Lösung PQ liegen P und Q auf dem Rand von T. Beweis: Ann: P liegt im Innern. Dann kann PQ verlängert werden, PQ ist also nicht maximal - Widerspruch. (Analog für Q)
3. Mindestens einer der Punkte P, Q liegt in einer Ecke E₁=(0, -2) oder E₂=(0, 2): Beweis: Sei P=(x₁,y₁) und Q=(x₂,y₂). O.b.d.A. sei x₁≤x₂ und y₁≤y₂ (ggf. spiegeln!). Annahme P≠E₁. Dann ist |PQ|<...<|E₁Q|, also ist PQ nicht maximal - Widerspruch.
Wir bestimmen jetzt die quadrierte Länge L(x) der Strecke von E₁ zu einem Punkt P=(x,y(x)) auf der Parabel (Mit E₂ ginge es auch. Man erhält dann die gespiegelte Lösung.)
Von -∞ kommend wird die Strecke kleiner und erreicht den Tiefpunkt 0 bei E₁. Ab hier wächst sie sicher bis zum Scheitel und erreicht kurz dahinter ein Maximum. Dann fällt sie wieder auf ein Minimum (dort, wo E₁P senkrecht auf der Parabel steht). Danach wächst die Strecke wieder auf die Länge 4 (bei E₂ ist also L(2)=4²=16) und weiter gegen +∞. Das Schaubild zeigt also ein geschwungenes W, und wir suchen den lokalen Hochpunkt H in der Mitte des W (kurz nach dem Scheitelpunkt der Parabel). H und die Randpunkte E₁ und E₂ sind unsere Lösungskandidaten für die Extremwertaufgabe.
Also los:
L(x) = ( x-(-2) )² + ( y(x)-0 )²
= (x+2)² + (x+2)²(x-2)²
= (x+2)²·[ (x-2)²+1 ]
L'(x) = 2(x+2)·[ (x-2)²+1 ] + (x+2)²·2(x-2)
= 2(x+2)·[ (x-2)²+1+ (x+2)(x-2) ]
(Wenn Du L ausmultiplizierst, kannst Du zwar ein bisschen leichter ableiten, musst aber dann eine erste Nullstelle von L' erraten. Das ist lästig!)
L'(x)=0: Die erste Nullstelle (aus (x+2)=0) liefert das Minimum bei E₁ mit Länge 0. Die anderen beiden findest Du durch Nullsetzen des quadratischen Terms in eckigen Klammern: 2x²-4x+1=0 ⇔ x₂₃=1±√(3/4)≅1±0.87.
Eigentlich ist jetzt klar, dass x₂=1-√3/2 die gesuchte Lösung liefern muss:
- x₂ ist Hochpunkt, weil sich Hoch- und Tiefpunkte bei Polynomen abwechseln. x₃=1+√3/2 ist wieder ein Tiefpunkt uns scheidet damit aus.
- L(x₂)>L(2) gilt, weil schon am Scheitel (also vor dem echten Hochpunkt x₂) L(0)>4² ist; am Rand E₂ ist die L(2) aber nur |E₁E₂|=4². E₂ scheidet damit als Maximalwert aus.
Wenn Dir diese Überlegung zu abstrakt ist, berechne einfach alle Werte L(-2), L(x₂), L(x₃) und L(2). Der größte gewinnt.
Zum Lösung vergleichen: Ich errechne
L(x₂) = (3-√3/2)²·[ (1+√3/2)²+1 ]
= (9-3√3+3/4)·[ 1+√3+3/4+1 ]
= 3/4·(13-4√3)·[ (11+4√3)/4 ]
= 3/16·[ 127+8√3 ]
...und hier habe ich keine Lust mehr auf Kopfrechnen. Mein Taschenrechner murmelt was von L(x₂)=26.41. Und da L das Quadrat der Streckenlänge angibt, ist die längste Strecke √26.41, also knapp über 5 lang. Es könnte also ausnahmsweise sein, dass ich mich nicht verrechnet habe :-)