Eigenwert & Eigenvektor mit komplexen Zahlen?
Folgende Matrix sei gegeben:
Ich bin wie folgt vorgegangen:
Berechnung des charakteristischen Polynoms ergibt:
lamba^2 = -1
lambda = sqrt(-1)
lambda = i und lambda = -i.
Nun komme ich aber nicht mehr weiter. Ich fahre der Einfachheit halber mit lambda = i fort. (Lambda = -i kann ich ja dann analog berechnen.)
[-i, -1]
[1, -i]
Nun müsste ja gelten:
-i * x1 - x2 = 0
x1 - i * x2 = 0
Gemäss Wolfram Alpha ist der zugehörige Eigenvektor [i, 1].
Ich verstehe, dass dieser Eigenvektor die zweite Gleichung löst. Aber inwiefern ist dann die erste Gleichung erfüllt?
Vielen Dank.
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/mihisu/1507493208281_nmmslarge__27_27_495_495_365edc29f3a8f4bb31cf67220050d253.png?v=1507493210000)
Wenn du (x₁, x₂) = (i, 1) in die erste der beiden Gleichungen einsetzt...
Passt.
Ansonsten kann man auch erkennen, dass die erste Gleichung äquivalent zur zweiten Gleichung ist. Wenn man die erste Gleichung mit i multipliziert, erhält man die zweite Gleichung. [Probier's aus.] Bzw. erhält man umgekehrt die erste Gleichung aus der zweiten Gleichung, indem man mit -i multipliziert.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/martrud/1649330937883_nmmslarge__0_17_300_299_d7de4a320b5ac34a96452a2ec4d5edce.jpg?v=1649330938000)
-i * x1 - x2
mit x1= i und x2= 1 ergibt
(-i) * i - 1
= - i^2 -1
= - (-1) -1
= 1 - 1
= 0
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
Nun komme ich aber nicht mehr weiter.
Du musst jetzt den Kern von der Differenzmatrix von der gegebenen und der Einheitsmatrix skalar mit i bzw. –i berechnen, also
So wie du auch beim charakteristischen Polynom vorgegangen bist, nur eben statt die Determinante den Kern bestimmst. Ich nenne diese Differenzmatrix nun A⁺ für λ = +i und A⁻ für λ = –i.
___
λ = i:
Ker(A⁺) = span( (1, –i)^T )
λ = –i:
Ker(A⁻) = span( (1, i)^T )
___
Damit hast du zwei Untervekorräume zu zwei Eigenvektoren gefunden.
Die Rechnungen sind einfach bei A⁺
–i x – 1 y = 0
1 x – i y = 0
und bei A⁻
i x – 1 y = 0
1 x + i y = 0
Die Lösungenmenge, also alle Zahlenpaare, die jeweils eine dieser Gleichungen erüfüllen, bilden dann Komponenten von Eigenvektoren.
![- (Mathematik, Gleichungen, Statistik)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/506647158/0_big.png?v=1688127884000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/TBDRM/1655402433211_nmmslarge__0_666_1080_1080_f7eefb8f128db0f4b803b786d906b453.jpg?v=1655402433000)
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ProfFrink/1445462639575_nmmslarge__21_2_360_360_db31c5ca456d530b87e138131afa17f4.png?v=1445462642000)
Beide Gleichungen werden gelöst. Rechne doch einfach nach. Es stimmt alles.
Charismatisches Polynom, cool .... :-)