E-Funktionen mathematik?

Was sind die 3 Ableitungen der Funktion: f(x)= e^x^2 - 1 ?

Ich schreibe morgen einen Test und muss Ableitungen, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte berechnen können aber bei jeder neuen Aufgabe fällt es mir schwer. Man braucht Ketten- und Produktregel für die ersten 3 Ableitungen
Danke im Vorraus

Wenn hier Einige sind, die sowieso Spaß an E-Funktionen und Mathe Aufgaben haben und gerne rechnen, könnt ihr mir gerne auch schreiben:)

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Answer 1

[aperfect10]

$f(x) = e^{x^2} - 1$ Okay, schauen wir uns die erste Ableitung an:

Da steht eine Summe, mit den Summanden

$e^{x^2}\quad\text{und}\quad -1$ Da dürfen wir die Summenregel anwenden, und jeden Summanden einzeln ableiten. Die -1 rechts ist eine Konstante, also ist die Ableitung 0.

Bleibt noch der Teil mit der e-Funktion übrig. Dafür brauchen wir, wie Du richtig gesagt hast, die Kettenregel. Hier ist sie nochmal zur Erinnerung:

$f(g(x))' = {\color{red} f'(}{\color{blue}g(x)}{\color{red})} \cdot \color{blue} g'(x)$

Anhand der Farben siehst Du, was zu f und was zu g gehört:

$\color{red}e^{\color{blue} x^2}$

$\color{red} f(x) = e^x \quad \color{blue} g(x) = x^2$ Da musst Du jetzt nur noch einsetzen. Ich helfe Dir gerne wenn Du nicht weiterkommst.

Comments

[Liliane01]

vielen dank!! Das hilft weiter😊

Answer 2

[Muner]

Definitionbereich = R

Comments

[Muner]

Definitionbereich = R

$f′′(x)=2e^{^{x^{^2}}}+4x^{^2}e^{^{x^2}}\ \$ $\ \ \ 2\ \ -\ \ f′′(0=2>0\ \ \ die\ Fonktion\ hat\ an\ x=0\ \$

$1-\ \ \ \ \ \ \ f′(x)=0⇒2xe^{^{x^2}}=0\ \ \ ⇒\ x=0\ da\ e^{^{x^2}}>0\ \ \ \ \$ hat ein lokales Minimum ( 1 ist ein absolutes Minimum denn : erstens Da

$x^{^2}$

auf den beiden abgeschlossenen Intervallen [−∞,0]

und [0,∞] , und

$e^x$

ebenfalls steigend ist, folgt daraus, dass

$e^{^{x^2}}$

auf beiden Intervallen steigend ist." und zweitens weil

$e^{^{x^2}}\ =>1\ \left(x^2=>0\right)$ $und\ damit\ e^{x^2}-1\ =>\ 0\$ gilt "für alle x in R " und die Gleichung gilt nur wenn x=0 denn 0 ist ein absolute minimum

Wendepunkt: suchen wir nach den Nullstellen der zweiten Ableitung . Sei :

$f\left(x\right)^{^{''}}=2e^{^{x^2}}+4.x^{^2}.e^{x^{^2}}\ =2e^{x^{^2}}\left(1+2x^{^2}\ \right)\ \$ Da

$e^{x^{^2}}\ \ge1>0\ und\ \ \ \ \ 2x^{^2}\ \ge0\ \ \ \ \ und\ dann\ \ 2x^{^2}\ +1\ge1>0\ \ denn\ f^{''\ }\left(x\right)\ unglaich\ null\ \left(\ \right)$ $0denn\ f′′(x)\ unglaich\ null\ und\ dann\ es\ gibt\ kein\ Wendepunkt\$