E-Funktionen ableiten?
Das hat mein Mathelehrer angeschrieben. Wo liegt da der Unterschied beim ableiten beider Fälle? Es kommt doch beides auf dasselbe hinaus, oder? Wie kann eine Funktion, also g(x), im Exponenten einer Funktion sein?
3 Antworten
Wieso soll nicht eine Funktion im Exponenten der Exponentialfunktion sein. Beispiele gefällig?
Was du mit "es kommt beides aufs Selbe heraus" meinst ist mir nicht ganz klar.
g(x) ist einfach eine beliebige Funktion von x. m steht im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch genau wie n für eine natürliche oder für eine ganze Zahl, je nach Zusammenhang.
Das gnze passt, wenn g(x) eine lineare Funktion ist und g'(x) demnach deren Steigung m.
Wer den Begriff "Aufleitung" benutzt hat bei mir sowieso schlechte Karten...
Das ist eines der Dinge die sich in diesen unsäglichen "Praktische Beispiele, koste es was es wolle" Mathematikunterricht eingeschlichen haben.
Ist der Hefteintrag von einer aus meiner Stufe, das hab ich nicht geschrieben ;)
Aber warum steht eine Funktion inmitten einer anderen? Oder hab ich das falsch verstanden? Weiß nicht wie man dann mit der Tangentengleichung fortfahren muss, weil man löst ja eig nur nach einer Funktion auf.
Hab nicht ganz verstanden, wie ich fortfahren muss um eine Tangentengleichung zu bilden. Weil habe ja jetzt immernoch eine Funktion im Exponenten einer Exponentialfunktion. Der nächste Schritt wäre ja jetzt den x wert in die Funktion einzusetzen und den y wert zu berechnen. Ist das verständlich?
Die ganzen Ableitungsregeln wurden ja geschaffen, damit man die Tangentengleichung nicht mehr explizit ausrechnen muß, sondern sich auf die Regeln verlassen kann. Ansonsten gibt weiterhin die Ableitungsfunktion, wenn korrekt berechnet, die Steigung der Tangente der Funktion am Punkt x an.
Tangentengleichung wie immer erstellen:
t(x) = mx+b
m = f' von der gewünschten Stelle (Steigung ist ja f')
b dann über f(x) = t(x) der gewünschten Stelle.
Was denkst du über die letzte Zeile? Wenn das F dort abgeleitet wird müsste man doch auch die Produktregel, da käme ich nicht unbedingt auf f(x).
... und die Quotientenregel. Ich bin zu faul das jetzt durch zu rechnen. Ich gebe aber zu auf die Zeile gar nicht gelesen habe :-).
Ja, es kommt auf dasselbe heraus, wenn man bedenkt, dass m und g'(x) im Nenner nicht 0 werden dürfen, insofern fehlen mir da gewisse Einschränkungen in der Darstellung.
Man kann g(x) = mx setzen und dann g'(x) = m. Dann ist das obere ein Spezialfall vom unteren. Allgemein gilt
Das k ist eine Konstante und spielt eigentlich keine Rolle, sie geht linear mit. Wenn man zweimal ableitet, hat man eben f''(x) = k * (g'(x))² e^(g(x))
Eine Stammfunktion ist quasi eine "Aufleitung", also ein Ableiten mit -1. Dann hätte man
ob diese Darstellung f hoch (-1) so erlaubt ist, weiß ich nicht, mit unter nimmt man f hoch -1 auch für die Umkehrfunktion. Das aber nur zur konzeptionelle Verdeutlichung.
Wie kann eine Funktion, also g(x), im Exponenten einer Funktion sein?
So:Dann ist mit:
die Funktion g(x) im Exponenten der Exponentialfunktion und es gilt.
Warum man aus der Funktion g(x) = m·x mit g'(x)=m einen Spezialfall für die Kettenregel beim Ableiten "herbeiredet" verstehe ich auch eher nicht.
Könntest du vielleicht mal ein Beispiel einer Ableitung mit einer Funktion im Exponenten von e bilden? Was spielt g(x) für eine Rolle in der ganzen Funktion? Weiß nicht wie ich dann mit der Ableitung fortfahren muss um die Tangentengleichung aufzustellen. Gibt es da einen Unterschied? Finde keine Videos mit Tangentengleichungen wo zb. g(x) im Exponenten steht.
Die Kettenregel steht in Deinem Mitschrieb links unten. Da steht (das a ist hier nur ein Faktor, der für das, was zu sagen ist, keine weitere Bedeutung hat). Wenn
f(x)=eg(x) ist, dann ist die Ableitung f'(x) = g'(x)eg(x)
Man muss also - im Gegensatz dazu wenn nur ein x im Exponenten steht - die ganze Funktion noch mit der Ableitung der Funktion, die im Exponenten steht, multiplizieren. Man nennt das auch "Nachdifferenzieren" und diese Regel heißt Kettenregel. Nehmen wird das Beispiel aus meiner Antwort:
f(x)=eg(x) mit g(x)=3x²+2x+16 und g'(x)=6x+2. Dann ist eben die Ableitung
f'(x) = (6x+2)eg(x) und nicht etwa nur f'(x) = eg(x)
Weiß nicht wie ich dann mit der Ableitung fortfahren muss um die Tangentengleichung aufzustellen. Gibt es da einen Unterschied?
Nein. Die Tangentengleichung ist immer eine Gerade, aber um deren Steigung zu bestimmen ist die erste Voraussetzung, dass Du die eigentliche Funktion korrekt ableitest, um dann den x-Wert, an dem die Tagentengleichung berechnet werden soll, in die korrekte Ableitung einzusetzen.
Vielen Dank für diese ausführliche Erklärung! Hab’s jetzt verstanden
Muss ich dann bei der g(x) Funktion, unabhängig von der anderen, x einsetzten und auflösen? Oder was passiert damit
Du setzt "x" in die Ableitung und die Funktion ein. Damit hast Du
- eine Steigung
- und einen weiteren Punkt P(x|f(x))
und kannst damit wie üblich die Tangentengleichung bestimmen. Aber das hat alles schon nichts mehr mit der Kettenregel und der korrekten Bestimmung der Ableitung zu tun, da das immer das gleiche Vorgehen ist.
Ja genau, aber ich kann ja g(x) nicht bestimmen deswegen kann ich doch auch keine Zahlen für m y und b rausfinden, ich weiß ja nicht was g(x) ist. Oder? Danke
aber ich kann ja g(x) nicht bestimmen ... Ich weiß ja nicht was g(x) ist
Du sollst ja g(x) gar nicht bestimmen. g(x) ist durch die Aufgabenstellung vorgegeben und Du kannst g(x) aus dem Exponenen von e direkt ablesen. Also weißt Du immer was g(x) ist.
Die Funktion g(x) ist die Funktion im Exponenten von e, wenn wir über eine konkrete Aufgabe reden und nicht über die Theorie der Kettenregel im Allgemeinen. Bis jetzt habe ich kein einziges Wort über eine konkrete Aufgabenstellung verloren. Wenn man ganz kleinlich sein wollte, könnte man sogar sagen: Für die Exponentialfunktion f(x)=ex selbst ist g(x)=x.
Wenn Dir das jetzt immer noch nicht klar ist, dann stell bitte eine konkrete Frage - am besten als neue Frage. Dann rechne ich gerne mal ein Beispiel durch.
Glaub mir ist nicht ganz klar was g(x)/m in den Funktionen überhaupt darstellen sollen