Dimension und Basis eines Unterraums bestimmen?
Hallo, könnte mir jemand vllt. mit folgender Aufgabe helfen. Bei U dürfen die Koordinaten nicht alle positiv oder negativ sein. Gibt es aber ein Systematisches Verfahren wie ich eine Basis von so einer Gleichung ermittle? Mein ansatz ist, mir evtl. die lineare hüllen anzusehen aber darf ich annehmen das hier die kanonische basis verwendet wird?
Danke
2 Antworten
Du kannst diese Bedingungen in ein lineares homogenes Gleichungssystem vierten Grades in x1-x4 verwandeln. Die Dimension des Unterraums (des Kerns der Abbildungsmatrix) ist dann gerade n (in diesem Fall 4) - r, wobei r der Rang der Abbildungsmatrix ist. Im ersten Fall ist die Abbildungsmatrix übrigens
0 1 1 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
mit Rang 1.
Die passende Abbildungsmatrix im zweiten Fall und die Bildung der Mengen wird dem Studenten als Übung überlassen :-).
Keine die ich kenne :-). Der Kern einer linearen Abbildung ist genau definiert als der Unterraum den die Abbildung auf den Nullvektor abbildet. Und dessen Dimension ist halt hier gefragt.
Ich persönlich würde einfach "clever raten". U sieht so aus, als sollte es Dimension 3 haben, also muss ich nur 3 linear unabhängige Vektoren finden, die die Gleichung erfüllen.
Z.B. (1,0,0,0), (0,1,-1,0) und (0,0,1,-1) scheinen geeignete Kandidaten zu sein.
Eine andere Möglichkeit ist, das lineare Gleichungssystem zu lösen. Die Gleichung
x2 + x3 + x4 = 0
kann man umformen zu
x4 = -x2 - x3.
Da dies die einzige Gleichung ist, heißt das wohl, dass x1, x2 und x3 "frei wählbar" sind. Wir erhalten also die Gleichungen:
x1 = x1,
x2 = x2,
x3 = x3 und
x4 = -x2 - x3.
Indem wir 3 geeignete unterschiedliche Kombinationen an Belegungen für x1, x2 und x3 wählen [z.B. (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1)] erhalten wir 3 Basisvektoren:
(1,0,0,0), (0,1,0,-1) und (0,0,1,-1).
woran erkenne ich aber das es 3 dimensionen haben sollte, also woran sehe ich dass 4 linear unabhähngige verktoren unmöglich sind?
Wenn es 4 linear unabhängige Vektoren in U gäbe, dann wäre U ein 4-dimensionaler Unterraum des 4-dimensionalen Raumes IR^4. Also wäre U = IR^4.
Dies ist aber offensichtlich nicht der Fall, weil (0,1,0,0) nicht in U liegt, wohl aber in IR^4.
Also die Anzahl an Dimensionen minus der Anzahl an Dimensionen welche zu 0 gestaucht ("verloren gehen") werden? Gibt es keine andere Methode ?